やり方をつかめば難しくない!?「いもづる算」の解き方を徹底解説

いもづる算とは 

 いもづる算はつるかめ算と似ていますが、条件がつるかめ算よりも少なく、答えが複数でることがあります。答えが複数ある時は何通り答えがあるかが問われることが多いです。条件によっては答えがひとつに定まる時もあります。それでは、例題を出してみます。 

 

1⃣ 1120円のりんごと180円のみかんを何個かずつ買ったところ、代金は720円でした。りんごとみかんの買い方は何通りあるでしょうか。ただし、どちらも1個ずつはかうものとする。 

 

ここで、りんごとみかんを合計で何個買ったか分かっていればつるかめ算となり、りんごとみかんの買い方は1通りに定まります。しかし、ここではりんごとみかんの合計個数が分かっていないため何通りかの買い方が考えられます。それでは解き方を見ていきましょう。 

 いもづる算の解き方 

 1⃣を解きます。720÷1206より、りんごは最大でも6個しか買えないことが分かります。また、今回はりんごもみかんも1個ずつは買うという条件がついているのでりんごは16個買うということが分かります。ここから2通りの解き方を示します。 

 

①しらみつぶしに解く 

しらみつぶしに解くといってもやみくもにいろいろ試して720円になるのを探すようなやり方ではいけません。それだと数え忘れていても気づきにくいからです。しっかりと全ての場合を調べましょう。

ここでは720円になる可能性のあるりんごの個数が16個だと分かったのでそれぞれの時のみかんの個数を調べたら全ての場合を調べたことになります。りんごが7個以上のときは720円にはならないので調べても意味がありません。

そしてそれぞれの場合について調べたのが下の表になります。 

 

りんごの個数 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

残高 

600 

480 

360 

240 

120 

0 

みかんの個数 

× 

6 

× 

3 

× 

0 

注:みかんの個数は整数にならないといけないので整数にならなかったものには×と書いています。例えば、りんごの個数が1個の時、みかんの個数は600÷807・・・40となるので×となります。 

(自己作成・転載OK )

 みかんも最低1個は買うと問題文にあるため、みかんが0個の場合は除く必要があります。以上より、(りんごの個数、みかんの個数)=(2,6)、(4,3)の2通りだと分かります。 

この解き方は確実ですがものの個数が多くなると手間がかかり解くのに時間がかかってしまいます。 

 

 余談ですが、ここでみかんではなくりんごの個数の範囲をしぼったのには意味があります。りんご同様にみかんの個数をしぼると、720÷809となりみかんの個数は19個だと分かりますがこれだとりんごの個数を9通り調べる必要があり、りんごの個数をしぼった時の6通りよりも手間がかかります。 

 

②りんごをみかんにおきかえる 

りんごの値段である120円とみかんの値段である80円の最小公倍数は240なので、りんご2個とみかん3個の値段は同じです。りんごを6個買うと120×6720円です。

ここで、りんご2個とみかん3個の値段が同じであることから、りんご2個をみかん3個におきかえても値段は変わらない。つまり、りんご4個とみかん3個を買っても720円となります。

ここからもう一度りんご2個とみかん3個をおきかえても値段はもちろん変わらないので、りんご2個とみかん6個を買っても720円となります。もう一度おきかえてしまうとりんごが0個になってしまうのでだめです。表にすると下のようになります。 

 

りんごの個数 

6 

4 

2 

みかんの個数 

0 

3 

6 

(自己作成・転載OK )

 みかんが0個の最初の場合を除いて、2通りの買い方があることが分かります。 

次に、もう少し難しい問題を解いてみましょう。 

 

2⃣ 1167円のりんごと170円のみかんをいくつかずつ買ったところ、代金は1492円でした。りんごとみかんをそれぞれ何個ずつ買ったでしょう。 

 

この問題は、しらみつぶしで解くこともできますが、あることに気づくと早く解くことができます。まずしらみつぶしで解いてみましょう。 

①しらみつぶしに解く 

まずりんごの個数をしぼりましょう。1492÷1678・・・156なのでりんごを9個以上買ってしまうと1492円を超えてしまいます。つまりりんごの個数は08個です(りんごとみかんをそれぞれ1個以上買うという条件が今回はないので0個の場合も考えましょう)。

では、それぞれの場合についてみかんの個数を求めてみましょう。以下の表のようになります。 

 

りんごの個数 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

 

残高 

1492 

1325 

1158 

991 

724 

657 

490 

323 

156 

みかんの個数 

× 

× 

× 

× 

× 

× 

7 

× 

× 

(自己作成・転載OK ) 

490以外は1の位が0ではないので70で割り切れないことがすぐ分かります。以上より求める個数はりんご6個、みかん7個となります。 

 

②工夫して解く 

代金が1492円でりんごの値段167円、みかんの値段70円。みかんは何個買っても1の位は0なので、りんごの個数はりんごの合計値段の1の位が2となる個数である必要があります。

16718(りんごの個数は18個だから)をかけて1の位が2になるのはりんごの個数が6個のとき。以上よりりんごは6個。みかんの個数は(1492-167×6÷707(個)。 

いもづる算の解き方のまとめ 

以下の順で考えましょう。 

  1. 工夫できるか考える
  2. 個数のはんいをしぼる
  3. しらみつぶしで考える 

いもづる算の応用 

もう少し難しい問題を解いてみましょう。 

 

3⃣ 1120円のりんごと183円のみかんと1135円のなしをいくつかずつ買ったところ その合計金額は2786円であった。みかんを何個買ったでしょう。ただし、りんごをなし の5倍だけ買ったとする。 

 

  1. 工夫できるか考える

    今までのように単純になしの個数をしぼると、2786÷13520・・・86となり、なしの個数は020個となり、さらにそれぞれの場合においてりんごとみかんの個数もまた考える必要があり、非常に手間がかかってしまいます。

    では、他に使えそうな条件はなんでしょうか。りんごをなしの5倍だけ買うという条件に注目してみましょう。これをいいかえると、りんご5個となし1個をセットで買うということになります。りんご5個となし1個の合計金額は735円です。

    今分かったことで3⃣を書きかえてみると下のようになります。

    3⃣ りんご5個となし1個で735円のセットと183円のみかんをいくつかずつ買ったところその合計金額は2786円であった。みかんを何個買ったでしょう。

    これで1⃣とほとんど同じ問題になりました。

  2. 個数のはんいをしぼる

    りんご5個となし1個のセットは2786÷7353・・・581より03セットです。あとはそれぞれの場合でみかんの個数を調べればいいですね。

  3. しらみつぶしで考える

    では、それぞれの場合のみかんの個数を調べましょう。 

りんご5個となし1個のセット数 

0 

1 

2 

3 

残高 

2786 

2051 

1316 

581 

みかんの個数 

× 

× 

× 

7 

(自己作成・転載OK )

 上の表からみかんの個数は7個だと分かります。 

まとめ

いかがでしたか。いもづる算は難しい問題だと工夫の仕方が大切になってきます。色んな問題を解いて慣れておきましょう。 

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