つるかめ算を理解していれば解ける?「弁償算」の解き方

弁償算とは 

弁償算はつるかめ算と似ていて、つるかめ算の応用として紹介されることも多いです。解き方もつるかめ算とほとんど同じなのでつるかめ算をマスターすれば、なんなく弁償算も解けるようになると思います。

それでは、問題を見ていきましょう。  

例題1

A君はガラスのコップを100個運びます。1個運ぶごとに報酬として10円もらいます。しかし、コップを割ってしまうと1個につき70円弁償します。A君はコップを運び終え、760円もらいました。全部で何個のコップを割ったでしょうか。 

弁償算の解き方 

では、例題を解いてみましょう。つるかめ算のときを思い出してください。つるかめ算では、まず与えられた頭数が全てつるだと考えてそこから一匹ずつかめにおきかえて考えるのでした。

ここでも同じようにまず、すべてのコップを割らずに運べたと考えてみましょう。

するとA君は何円もらえるでしょうか。

\(10\times 100=1000\)円

ですね。

しかし、実際には760円しかもらえていません。つまり、いくつかコップを落としてしまい弁償したということですね。

そこで、つるかめ算のように1個をおきかえてみましょう。つまり、コップを1個割ってしまったと考えます

このコップは運べていないので報酬の10円はもらえません。おまけに70円弁償する必要があります。

つまり、すべて運べた時と比べて80円だけもらえるお金が少なくなります

コップを1個割り、99個を運ぶと80円だけもらえるお金が少なくなるということが分かりました。では、何個を割るともらえるお金が760円になるでしょうか。

760円ということは100個全て運べた時と比べると240円だけもらえているお金が少ないですね。

1割るごとに80円もらえるお金が少なくなるので

\(240\div 80=3\)個

割ったということが分かります。 

今はすべてのコップを割らずに運べたと考えましたが、もちろん全てを割ってしまったとして考えることもできます。

全てを割ってしまうと、A君は

\(70\times 100=7000\)円

弁償しなくてはなりません。ここから1個をおきかえてみましょう。

つまり1個運べて、99個割ったときどうなるでしょうか。報酬が10円もらえて、70円弁償しなくてよいので80円弁償する金額が減ります。つまり弁償額は6920円となります。実際には、760円もらっているのですべて割ったときとの差は7760円です。

よって、

\(7760\div 80=97\)個

だけ運べたということが分かります。つまり、3個だけ割ったということですね。 

このようにどちらにあわせても解けるので好きなほうに合わせて解きましょう。この問題ではあまりコップを割ってしまうとお金をもらえず、弁償しなくてはならなくなりそうですね。では、次の問題を解いてみましょう 

例題2

例題1の条件でA君は何個以上コップを割るとお金がもらえず、弁償しなくてはいけないでしょうか。 

解説

先ほど考えたように、すべてのコップを運べたと考えると1000円もらえ、1個割るごとに80円もらえるお金が減ります。

\(1000\div 80=12\cdot\cdot\cdot40\)

なので12個割ると40円もらえますね。つまり13個割ると40円の弁償です。13個以上割るとどんどん弁償額が増えていきますね。つまり、答えは13個以上となります。  

もう1問解いてみましょう。 

例題3

数学の問題が10問あります。1問正解するごとに10もらえますが、1問間違えるごとに間違えるごとに3点引かれます。B君は9点でした。B君は何問正解できたでしょうか。 

解説

先ほどと同じようにまずは全て正解したと考えましょう。

すると

\(10\times 10=100\)

となります。

1問間違え、9問正解したとすると13点引かれて87点となります。

\(100 – 9 =91\)

引かれているので

\(91\div 13=7\)問間違え、3問正解したということが分かります。

検算すると、

\(10\times 3 – 3\times 7=9\)

となります。 

弁償算の解き方のまとめ 

弁償算を解くときは以下の順で解きましょう。 

  1. すべてどちらか一方だったと仮定する
  2. ひとつおきかえてみて変化を調べる
  3. 問題に与えられた数に合うまでおきかえる 

実は、これはつるかめ算の解き方とまったく同じです。弁償算もつるかめ算同様面積図で解くこともできますが、つるかめ算とは少し違う図を書く必要があり、また、問題を解くのが図を書く作業になってしまい本質を理解しにくいです。 

弁償算の応用 

少し難しい問題を解いてみましょう。 

応用例題1

じゃんけんをして負けたら階段を3段下り、あいこなら1段上がり、勝ったら5段上がるというゲームをC君とD君の2人でしました。15回じゃんけんをしたところC君は最初の位置から31段だけ上にいました。C君は何回勝ったでしょう。またD君は最初の位置よりも何段上または下にいるでしょう。ただし、C君のあいこの回数は負けた回数よりも2回だけ多かったです。 

~③の順番で解いていきましょう。 

  1. すべてどちらか一方だったと仮定する
    まず、C君がすべて勝ったと仮定してみましょう。
    すると、最初の位置よりも\(5\times 15=75\)
    段だけ上にいるはずです。しかし、実際には31段だけしか上にいません。この差は\(75-31=44\)段です。
  2. ひとつおきかえてみて変化を調べる
    勝ちを負けにおきかえると8段だけ下がります。勝ちをあいこにおきかえると4段だけ下がります(図1参照)。
    ここで負けとあいこの関係に注目しましょう。問題文に、「C君の負けた回数はあいこの回数よりも2回だけ多かった」とあります。ここから、C君は少なくとも2回はあいこになっていることが分かります。では、2回だけあいこであと13回は勝ったとするとC君はどこにいるでしょう。勝ち2回をあいこ2回におきかえるので、\(4\times 2=8\)段だけ下がります。つまり、\(75-8=67\)段だけ上にいます。まだ問題文の31段よりも多いですね。
    ここで勝ちをもう一回あいこにおきかえたいのですが、「C君の負けた回数はあいこの回数よりも2回だけ多かった」とあるので、あいこを1回増やすと負けも1回増やす必要があります。つまり、あいこ3回と負け1回にします。すると\(8+4=12\)段下がり、\(67-12=55\)段だけ最初の位置よりも上にいます。
    このようにあとは勝ち2回をあいこと負け1回ずつにおきかえていけばいいのです。この操作を一度すると12段下がります。
  3. 問題に与えられた数に合うまでおきかえる
    \(55-31=24\)段だけまだ上にいます。\(24\div 12=2\)より、勝ち2回をあいこと負け1回ずつにする操作をあと2回すれば良いと分かります。よってあいこは5回、負けは3回、勝ちは7回と分かります。検算をすると、たしかに\(5\times 7+1\times5-3\times 3=31\)段となります。
    ここまで分かればD君の位置を求めるのはおまけみたいなものですね。D君の勝敗はC君の逆、つまりあいこ5回、勝ち3回、負け7回です。計算すると、\(1\times 5+5\times3-3\times 7=-1\)となります。つまり、最初の位置よりも1段だけ下にいることが分かります。 

1 (自己作成・転載OK) 

演習問題

まとめ

このように弁償算は基本的にはつるかめ算と同じです。解けなかった人はつるかめ算から復習して、再び弁償算を解いてみるといいと思います。 

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東京大学理科二類の岡部信です。 京都の高校に通っていたので東京は知らないことだらけです。特に通勤電車はすし詰め状態だと聞いていましたが、ここまでだとは思ってなかったです。実家では犬を飼っていたのですが、もう3ヶ月近く会っていないのでそれが1番寂しいです。今は千葉で父と姉と3人暮らしですが、9月からは東京で1人暮らしする予定なので楽しみです。大学ではテニスサークルと東大村塾という農業と村おこしを掛け合わせたような活動をしているサークルに入っています。趣味は料理、登山です。料理は高校の時に料理研究部に入っていたのでそこそこ出来ますが、もっと上手くなれるよう時間がある時は夕ご飯を作ったりしてます。お菓子も色々作れるようになりたいです。登山は友達と休日に日帰りで行ったり、夏休みは泊まりで行ったりもしてます。今年の夏は富士山と北海道の富良野岳に行く予定です。 皆さんよろしくお願いします。