イラスト入りでわかりやすい!立体切断の基本【無料プリントあり】

中学受験の算数において、「立体図形」は特に苦手とする人が多い分野ではないでしょうか。

苦手としてしまう理由としては、「空間把握能力(空間認識能力)」の低さによるものもあるかと思います。平面に描かれた立体図形を見て、それを動かしたり別の角度から見たときの状態をうまく想像できない人は、立体図形に関する問題を解くのは難しいでしょう。

しかし、「元々の生まれもった素質が違うんだわ…」と悲観的になる必要はありません。なぜなら、この能力は鍛えられるものだからです。苦手な人は特に、「鍛えるための練習」もせずに逃げようとします。それではいつまで経っても立体図形の問題を解けるようにはなりません。最近はアニメのイラストなどを上手に描く人も増えてきていると思いますが、もともと絵が上手な人もいれば、一生懸命練習して上手になった人もいますよね。

感覚を鍛えるわけですから、そのためにまずは「目に見える状態」で理解していきましょう。今回は、「立体切断」についてイラスト入りで説明していきます。

立方体を描いてみよう!

「空間把握能力」を鍛えるための第一歩として、実際に立体の図を描いてみましょう。ただ、子どもに最初に立方体を描いて見せてもらうと、なんとも歪な立方体が出来上がることがほとんどです。

しかし、ポイントを押さえて練習すれば、誰にでも立方体が描けるようになります。下の「立方体のかき方」を参考にして、最初のうちはマス目のあるノートかドット付き罫線のノートを使って描いてみましょう。定規で計らなくても、マス目やドットに合わせれば綺麗に図を描くことができます。それに慣れたら、白紙の状態でも目分量で図が描けるように練習してみるとよいでしょう。

立方体を描くときのポイントは、「向かい合わせになる辺は同じ長さで平行になるように描く」ということです。歪な図を描いてしまっている人は、このポイントを押さえられていないのです。なお、立体図形の問題を解くためのものですから、遠近法を使ったりする必要はありません。

同じ面にある2点を結ぶ

立体切断の問題は、「立方体の辺上にある3つの点を通る平面で切断する」というものになります。まずは、3つの点のうち2つが同じ面の上にあるか探し、その2点を結びましょう。

上の図のように、立方体には6つの面があるので、そのいずれかの上で2点を結ぶことができることがほとんどです。最初に引いたこの直線をもとにして、切断面を考えていきます。

向かい合わせの面には平行な切り口がつく

6つの面のうち、「上と下」「左と右」「手前と奥」のように、向かい合わせになっている面には平行な切り口がつくはずです。3つの点のうちの2つを結んだ直線がある平面と、残りの1つの点がある平面が向かい合わせになっている場合にはこの考え方を利用します。

最初に結んだ2点を通る直線をそのまま平行移動させます。最初の直線に沿って包丁をあて、残りの1点に向けて豆腐を切るようなイメージで考えていきましょう。

上の図のように点が配置されていて、上の面の辺の途中にある点は辺の中点であるとします。上の面に作った直線と平行な直線を、下の面にある点を通るように引いてみます。このとき、今引いた直線と立方体の辺が交わる点ができたので、その交点が「切断面の頂点」になります。この新たに出来た頂点も含めて点をすべて結ぶと、上の図のような切断面ができます。

ここで、出来上がった切断面がどのような形であるか考えます。上の面と下の面、そして左の面と右の面で平行な直線がそれぞれできているので、平行四辺形であると言えます。しかし、切断面の各辺の長さにも注目してみると、すべての辺が「辺の中点と正方形の頂点を結んでいる」という同じ条件を持っていることがわかります。つまり、4つの辺の長さがすべて等しい平行四辺形なので、この図形は「ひし形」とするのが最もふさわしいです。

大きな三角すいを作る

立方体の面に対して斜めに切断している場合、立方体の辺と切断面の辺を伸ばしていくと大きな三角すいを作ることができます。

上の図のように、3つの点が各辺の中点に配置されていたとします。まず上の面にある2点を結び、続いて左の面にある2点を通る直線を考えます。次に、左の面を通る直線を伸ばし、その直線に交わるように立方体の辺を伸ばしていきます。すると立方体の外で伸ばした辺同士が交わる点ができます。この点が、「大きな三角すいの頂点」になるのです。(最初の直線を伸ばし、それに交わるように立方体の辺を伸ばして、下向きの三角すいを作ってもよいです。)

こうしてできた「大きな三角すいの頂点」と、もともと配置されていた点を通る直線を引き、さらに辺を伸ばして新たな頂点をつくっていきます。直線が立方体の辺と交わった点が、「切断面の頂点」になります。これらの点を結ぶと、今回は六角形ができました。このとき、切断面の各辺の長さにも注目すると、すべての辺が「中点と中点を結んでいる」という同じ条件を持っていることがわかるので、この場合の切断面は「正六角形」とするのが最もふさわしいです。

切断面の基本パターン

立方体を1つの平面で切断したときの切断面の形は、三角形から六角形までできます。どのように切ればどういう形ができるのか、いくつかの例を示していきます。

三角形

「1つの平面上にある2点を結ぶ」だけで切断面が完成してしまうことがあり、その場合には切断面は三角形になります。

上のように、切断面の辺の長さに注目していくと、正三角形や二等辺三角形を作ることができます。もちろん、切り方によっては「ただの三角形」を作ることも可能です。しかし、「直角三角形」や「直角二等辺三角形」になることはありません。直角ができる場合には次に紹介するように長方形(正方形を含む)になります。

四角形

切断面が四角形になる場合、「立方体のどこかの面に対して垂直」に切ると、下のように長方形または正方形を作ることができます。切断面の辺が立方体の面と垂直になるのは、「上下」「左右」「手前と奥」のいずれでも構いません。(今回はわかりやすい「上下」をメインにしています。)

切断面の辺が立方体の面に対してどこも垂直ではない場合は、立方体を斜めに切断している状態になります。立方体を斜めに切断していて、なおかつ切断面の辺が4本になる場合には、切断面の形は「平行四辺形」「ひし形」「台形」のいずれかになります。

まず上のように「平行四辺形」と「ひし形」になる場合を考えたとき、この2つの違いに注目しましょう。4つの辺がすべて同じ条件であれば「ひし形」、そうでなければ「平行四辺形」です。長方形や正方形との違いは、「角が直角にならない」「切断面の2本の対角線の長さが違う」ということを考えるとわかるようになります。

上の図のように切断した場合には、台形ができます。向かい合わせの面には平行な切り口がつくので、「ただの四角形」を作ることはできません。また、台形の中でも、斜辺の長さが等しい場合には「等脚台形」と呼ぶことがあります。切断面が台形の場合には、斜辺をそのまま伸ばすことで大きな三角すいを簡単に作ることができます。

五角形、六角形

立方体の切断の中でも難しいのは切断面が五角形や六角形になるパターンです。このパターンでは、「立方体の辺と切断面を伸ばして大きな三角すいを作る」という考え方を理解していないと、切断面を作ることができません。

切断面が「五角形」になる場合、「正五角形」を作ることはできません。しかし、「六角形」になる場合には、すべての点が立方体の辺の中点になっていれば「正六角形」を作ることができます。

まとめ

今回は「立体切断の基本」となる、「立方体の切断」の基本形を紹介しました。ここからさらに、「切断した立体の体積を求める」などの応用問題に発展していくことがありますが、まず立方体の切断が正しくできるようになりましょう。

今回ご紹介した方法で何回か練習していくと、個人差はありますがいずれコツをつかめるようになります。間違った切断方法で繰り返してしまわないように気をつけてください。

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(ライター:桂川)

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