公式を図解!すい体の体積、円すいの表面積の求め方

中学受験では円すいを含むすい体の体積や表面積なども出題されることがあります。

普段の生活の中で触れ合う機会も少なく小学校では扱わない範囲のため、公式を丸暗記しただけで演習量が不足してしまうと苦手になりやすい内容です。

公式を丸暗記するのではなく、「なぜその式で求められるのか」をしっかりと理解しておくと忘れにくくもなります。今回の記事では、すい体の体積や円すいの表面積を求める公式と、その式で求められる理由を説明しています。

なお、円とおうぎ形に関する公式は下記を参照してください。

  • 円の円周の長さ=直径×円周率
  • おうぎ形の弧の長さ=直径×円周率×(中心角/360)
  • 円の面積=半径×半径×円周率
  • おうぎ形の面積=半径×半径×円周率×(中心角/360)

参考記事→円とおうぎ形の周りの長さ、面積の求め方【無料プリントあり】

すい体の体積の求め方

すい体とは、先がとがっている立体図形のことです。工事現場にあるような赤い三角コーン、エジプトのピラミッドなどをイメージしてもらえればお子さんにも伝わるかと思います。

  • すい体の体積=底面積×高さ÷3

というのが公式になりますが、なぜその式で求められるのかを考えてみましょう。一番わかりやすいのが四角すいで考えた場合の例です。

立方体でなくても直方体でもよいのですが、切り分けた四角すいの形が違うと一目で体積が等しいとはわかりにくいのであえて立方体を使って説明します。

上の図のように、立方体のそれぞれの面を底面とする6つの四角すいに分けます。このとき、1つの四角すいの高さは、立方体の高さの半分になります。四角すいの2倍の高さである立方体に6つの四角すいが入るということがわかったところで、1つの四角すいの高さに合わせて立方体を半分にしてみます。すると、「四角すいの底面積×高さ」で表した四角柱(直方体)の中には四角すい3つ分の体積が含まれるということになります。このことから、1つの四角すいの体積は、「底面積×高さ÷3」で求められるとわかるのです。

実際に計算するときには、上の図のように分数の形で約分するように計算すると計算が少しだけ楽になります。円すいや三角すいなどの他のすい体の場合も、同じ公式で体積を求めることができます。

円すいの側面を考える

四角すいなどの表面積をもし聞かれた場合には、側面の1つ1つは三角形になっているので長さがわかっていれば計算することが可能です。

しかし、円すいの場合にはちょっと状況が違います。円すいを広げて展開図にしたとき、側面はどのような形になっているでしょうか?

上の図のように、円すいを広げると側面はおうぎ形になります。また、側面のおうぎ形の半径にあたる部分を母線と呼びます。おうぎ形の面積は半径と中心角がわかれば求めることができます。

円すいの側面であるおうぎ形の中心角は、実は母線の長さと底面の半径の長さによって自動的に決まります。上の図で表したように、側面のおうぎ形の弧の長さと、底面の円の円周の長さを等しくしなければ正しく立体が作れないためです。

母線を10㎝、底面の半径を6cm、円周率を3.14として、それぞれの長さを求める公式に問題で与えられている数値を入れて式を作ると、次のようになります。

  • 側面の弧の長さ=10×2×3.14×(中心角/360)
  • 底面の円の円周=6×2×3.14

この2つの式が等しくなるためには、(中心角/360)=6/10=(半径/母線)となる必要があります。例えばこの問題の場合であれば中心角は360×6/10=216(度)となります。

母線と半径の長さが変わっても、弧の長さと円周の長さを等しくするために同じようにして中心角が決定されます。そのため、円すいの側面においては、(中心角/360)=(半径/母線)という関係が常に成り立ちます。

円すいの表面積を求める公式

ではいよいよ円すいの表面積を求めてみましょう。先ほど説明したように、側面のおうぎ形には(半径/母線)を利用します。

表面積とは展開図にした場合の面積の合計なので、側面積と底面積の合計を計算すればよいことになります。

円すいの側面のおうぎ形の面積を求める式に、(中心角/360)の代わりに(半径/母線)を使ってみると次のようになります。母線を10㎝、半径を6cm、円周率を3.14としたときの式も参考として並べておきます。

  • 円すいの側面積=母線×母線×円周率×(半径/母線)→10×10×3.14×(6/10)

この状態から約分、さらに計算しやすいように順番を変えると、次の式になることがわかります。

  • 円すいの側面積=母線×半径×円周率→10×6×3.14

これに底面の円の面積を合計すれば、表面積を求めることができます。もちろん、計算する場合には円周率をまとめるというような計算の工夫も行いましょう。

体積と表面積を計算してみる

では今までの内容をもとに、実際に体積や表面積を計算してみましょう。

母線を10cm、半径の長さを6cm、円すいの高さを8cm、円周率を3.14として体積と表面積を求める式を作ると次のようになります。

  • 円すいの体積=底面積×高さ×円周率×(1/3)→6×6×3.14×8×(1/3)=96×3.14=301.44(㎤)
  • 円すいの表面積=半径×半径×円周率+母線×半径×円周率→6×6×3.14+10×6×3.14=96×3.14=301.44(㎠)

今回は数値の設定上、たまたま体積と表面積が同じ数値になりましたが、ただの偶然です。必ず同じ数値になるわけではないので、間違った覚え方をしないように気をつけてください。

(ライター:桂川)

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