円とおうぎ形の周りの長さ、面積の求め方【無料プリントあり】

中学受験を目指す中で、円とおうぎ形に関する問題は必ずと言っていいほど出題されます。

円やおうぎ形が単体で出されることもあれば、他の図形と組み合わせた複合図形として出題されることもしばしばあります。

しかし、公式をなかなか覚えられずに答えが出せない人、3.14の計算の工夫をしないために時間がかかる人など、思うように得点できていない人も多いでしょう。

この記事で円とおうぎ形に関する公式を確認し、無料プリントを使って実際に計算してみましょう。

円とおうぎ形に関する公式と無料プリント

  • 円周の長さ=直径×円周率
  • 円の面積=半径×半径×円周率

まず上の2つが基本です。おうぎ形を求める場合、おうぎ形は円の一部分なので、円の中心角の360度のうちの何度分になるかを考えます。

  • おうぎ形の弧の長さ=直径×円周率×(中心角/360°)
  • おうぎ形の面積=半径×半径×円周率×(中心角/360°)

「よし!公式さえわかってしまえば問題が解ける!」という方はこちらから無料プリントをどうぞ。

「もう少し詳しく知りたい」という方は記事の続きにお付き合いいただければと思います。

円の円周と面積の求め方

円の円周は、「直径の約3.14倍」となっています。このため、「3.14を円周率とする」という場合がほとんどですが、円周率の数値は問題によって「3」になっていたり、「3.1」や「22/7」を円周率として計算させたりすることもあります。

面積の公式については、下の図を参考に考えていきましょう。

オレンジを輪切りにしたイメージで、円を半分にしたものを中心から広げて上下に合体させると、平行四辺形に近い形になります。すると上の図のように、平行四辺形の底辺となる部分が「半径×円周率」、高さとなる部分が「半径」となっているため、「円の面積=半径×半径×円周率」という式で表すことができます。

たまに「円周を求める公式と面積を求める公式がごっちゃになっている」という生徒さんを見かけることがあります。そのような場合には、「半径×半径=半径を一辺とする正方形」をイメージさせましょう。半径を一辺とする正方形の約3.14倍が円の面積です。正方形は面積、直径は長さを表していると考えれば、混乱することはなくなるはずです。

もし、半径が4cmの円の円周と面積を求める場合、円周率が3.14ならば次のようになります。直径は半径の2倍となることに注意しましょう。

  • 円周→4×2×3.14=8×3.14=25.12(㎝)
  • 面積→4×4×3.14=16×3.14=50.24(㎠)

公式については、言葉を丸暗記するよりも、「図の中のどの部分を使うのか」を図から見て考えられるようにしておきましょう。極端な話、公式は完璧に覚えているのに、「半径と直径がどこかわからない」というような生徒さんもまれにいます。半径が直径の半分、と字面で考えれば迷うこともないと思うのですが、何も考えずに丸暗記している場合には、大人が思いもよらないような落とし穴にはまっていることがあります。

おうぎ形の弧の長さと面積の求め方

では続いて、おうぎ形の弧の長さと面積の求め方についてです。おうぎ形は「円を中心から切り分けた形」です。円の中心角はぐるっと回って360度あります。この360度のうちの何度分がおうぎ形の中心角になっているのか、ということを割合で考えればよいです。

ピザやケーキを切り分けるように、円を切り分けてできた形がおうぎ形です。もし半径が6cmで中心角が90度のおうぎ形の弧の長さと面積を求める場合は次のようになります。分数は先に約分して、最終的に「〇×3.14」の形にまとめましょう。(かけ算のみの式は、順番を変えて計算しても答えは変わりません。)

  • 弧の長さ→6×2×3.14×90/360=6×2×1/4×3.14=3×3.14=9.42(㎝)
  • 面積→6×6×3.14×90/360=6×6×1/4×3.14=9×3.14=28.26(㎠)

ここで気をつけたいのが、円の状態で求めてから「÷2」や「÷3」などをしてしまう生徒さんの場合です。イメージとしては円を2等分、3等分と考えているので、考え方は間違っていません。しかし、3.14をかけ算して小数になった数をさらに割り算するわけですから、まず計算が面倒です。計算が面倒だと、「計算ミスが増える」「時間がかかる」などのマイナスポイントが増えます。必ず先に約分をして、3.14の計算は最後に1回かけるだけで済むようにしましょう。

もし、中心角が71度などの半端な数値のときは約分もできないので、そのまま「71/360」として計算します。その場合には、たいてい直径や半径が6の倍数になっていて、約分して計算できる数値になっているか、「小数第〇位を四捨五入して答えなさい」などになっているはずです。3.14の計算と分数が入り混じったまま強引に進めてしまうと計算ミスの元になりやすいので、なるべく計算を工夫していくように心がけましょう。

「周りの長さ」のときは注意!

問題によっては、円やおうぎ形の「周りの長さ」を聞かれる場合があります。このとき、問題の図が円であれば、「周りの長さ=円周」ですので問題ありません。しかし、問題の図がおうぎ形であったり、複合図形であったりする場合には要注意です。

「周りの長さ」を問われる問題で間違える子は、計算ミスを除けば「弧の長さを求めて終わりにしている」という間違え方が圧倒的に多いです。

上の図を見てもわかるように、「弧の長さ」だけでは「周りの長さ」を求めたことにはなりません。「周りの長さ」を求めるには、該当の図形をすべて囲んだときの長さを求めなくてはならないため、直線部分が入ってくることを忘れないようにしましょう。

複合図形の場合にも、面積であれば等積変形を利用して簡単な形にすることが可能な場合もありますが、「周りの長さ」を求める問題では下手に図形を動かすと周りの長さが変わってしまうことがあります。面積を求める場合と同じように動かしてしまって周りの長さを変えてしまう、ということのないように気をつけましょう。

半径の長さがわからなくても面積は計算できる?

円とおうぎ形の学習を進めていくうちに、「半径の長さが求められないおうぎ形の面積」の問題にぶつかることがあります。この問題を初めて解くとき、最初は「半径が出せないなら面積は出せない」と諦めてしまうか、見た目で適当な数値を半径として当てはめて解いてしまうことがあります。

しかし、円の面積を求める公式は「半径×半径×円周率」ですから、「半径」がわからなくても、「半径×半径」がわかれば面積は計算できるのです。

上の図のようなおうぎ形の面積を求める場合、おうぎ形の半径は求められません。また、直径も求められないため、弧の長さや周りの長さを計算することもできません。(ルートを使えば計算できますが、ルートを使う計算は小学生には教えません。)

しかし、「半径×半径」の大きさは、4cmを対角線とする正方形の面積の大きさに等しいため、求めることができます。ここから、おうぎ形の面積を計算することが可能となります。この問題の類題も「複合図形基本」のプリントに入っておりますので、お気軽にご利用ください。

【無料プリント】

 

(ライター:桂川)

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