3ステップで分かりやすく!消去算の解き方

消去算とは

消去算とは、いくつかの分からない数を、式を操作することで、その数を求める問題です。

これでは分かりにくいと思うので例題を出してみます。

1⃣ りんごを3個、みかんを5個買うと490円になります。また、りんごを4個、みかんを3個買うと470円になります。りんごとみかんはそれぞれ何円でしょう。

消去算の解き方

1⃣を解く前に、次の問題を考えてみよう。

2⃣ れもんを3個、アボカドを4個買うと640円になります。れもんを3個、アボカドを3個買うと540円になります。れもんとアボカドはそれぞれ何円でしょう。

これを図にまとめると以下のようになります(図1)。

図1 自己作成・転載OK

 

上と下を比べることで簡単にアボカド1個の値段は640-540=100円だとすぐ分かりますね。

アボカドの値段が分かれば後はれもんとアボカドの合計金額からアボカドの値段を引いて、れもんの個数で割ればれもんの値段は分かりますね。つまり、(640-100×4)÷3=80円となります。

次に1⃣を考えましょう。まず図にまとめてみましょう(図2)。

図2 自己作成・転載OK

2⃣はれもんの数が同じだったため、単純に2つの金額の差をとることでアボカドの値段が求められましたが、今回は図2の上と下でりんごの数、みかんの数、共に異なるため2⃣のように単純に差を取ってもりんご、みかんの数は求められません。

2⃣のようにどちらかの数がそろっていると差を取ることで、個数を求めることができます。

つまり、消去算において大切な考え方は、2種類のもの(りんごとみかん)のうち一方を消去し、片方だけにすることです。

1⃣も図2の上と下をそれぞれ何倍かすることでりんごあるいはみかんの数を合わせることができます。そして差を取ることでりんごあるいはみかんを消去することが出来ます。りんごの数を合わせてみよう。りんごの個数を3と4の最小公倍数である12に合わせよう。すると、図3のようになります。

図3 自己作成・転載OK


りんごの数は両方とも12個、みかんの個数は図2の上の方が5×4=20個で、下の方が3×3=9個なので、その差は11個で金額の差は1960-1410=550円です。よってみかん1個あたりの値段は550÷11=50円と求まります。

よってりんご1個あたりの値段は図2の上の方から(490-50×5)÷3=80円と求まります。

みかんの個数を合わせることでも解けるので是非自分でやってみましょう。個数を合わせるときは3と5の最小公倍数である15にあわせましょう。

 

次に少し違う消去算を解いてみましょう。

3⃣ りんごを6個、みかんを5個買うと720円になりました。りんごはみかんよりも10円高いとすると、りんごとみかんはそれぞれ1個何円でしょう。

まず図にまとめてみましょう(図4)。

図4 自己作成・転載OK

先ほども言いましたが、消去算で大切なことは、2種類のもののうち一方を消去し、片方だけにすることです。

3⃣では、みかん1個をりんごに置き換えると、合計金額は10円増えます。なので、みかんを5個ともりんごに置き換えると、合計金額は720+10×5=770円になります(図5)。

図5 自己作成・転載OK

よって、りんごは1個770÷11=70円だと求まります。図4からみかんの値段は(720-70×6)÷5=60円だと求まります。

これは実際にりんごがみかんより10円高くなっています。りんごをみかんに置き換えても解けるので是非やってみましょう。

消去算の解き方のまとめ

  1. 図を書いて状況を把握する
  2. 2種類のもののうち片方を消去して片方だけにする
  3. 個々の値を計算する

消去算の応用

次の問題を解いてみましょう。

4⃣ りんごを4個、みかんを1個、れもんを2個買うと560円になりました。りんごを1個、みかんを4個、れもんを3個買うと440円になりました。りんご3個とれもん1個を買うと何円になるでしょう。

 

1.図を書いて状況を把握する

 とりあえず図を書いてみましょう(図5)。

図5 自己作成・転載OK

2.2種類のもののうち片方を消去して片方だけにする

今回は3種類ですが、やることは2種類の時と大して変わりません。聞かれているのはりんごとれもんなので、みかんを消去することでりんごとれもんだけにしましょう。

図5の上の方を4倍すればみかんの数が上下で同じになりみかんを消去することができます(図6)。

図6 自己作成・転載OK

図6の上から下を引くことでりんご15個とれもん5個の値段が2240-440=1800円であることがわかります。みかんを消すことができましたね。

3.個々の値を計算する

求めるのはりんご3個とれもん1個の値段なので1800÷5=360円が求める値段だとわかる。

 

別解

図5の上下を足すとすべての個数が5個になります。つまり、りんご5個、みかん5個、れもん5個の値段が560+440=1000円だと求まります。5で割ることでりんご1個、みかん1個、れもん1個の値段は200円だと求まります。

あとは、図5の上の方からみかんを消去するつまり、りんご1個、みかん1個、れもん1個を引いてあげればりんご3個とれもん1個の値段は560-200=360円だと求まります。

 

どちらの解き方でも根本にあるのはものの種類を減らしたいという考えです。それに注意してどんどん色んな問題を解いてみましょう。

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