2ステップで簡単に!分かりやすい「やりとり算」の解き方

やりとり算とは

ものをどのようにやりとりしたかが与えられ、最初の状態を問われる問題です。

やりとりの前後において全体の量が変わらないことややりとりの前後の変化に着目して解きましょう。和差算や分配算は与えられた条件を線分図に書いていけば自然に答えが導かれましたが、やりとり算は最初の状態を線分図で表すことが難しいことが多いです。

やりとりの後の状態は簡単に分かることが多いので、やりとりの後の線分図を書いてから一つずつ戻していくことで最初の状態を求めることが基本となります。

それでは例題を出してみましょう。

1⃣ A、B、Cの3人が最初にいくらかずつお金を持っていました。今、A君がB君に所持金の半分をあげ、次にB君がC君に600円あげ、最後にC君がA君に300円あげました。すると、A君、B君、C君のそれぞれの所持金は1100円、2700円、3500円となりました。A君、B君、C君はそれぞれ最初いくら持っていたでしょうか。

やりとり算の解き方

分配算や和差算ではとりあえず線分図を書いてみましたが、1⃣は最初の状態がわからないので正確な線分図を書くことができない。

しかし、やりとりの終わった後の状態(A君、B君、C君の所持金がそれぞれ1100円、2700円、3500円)ははっきりしているので線分図を書くことができる。実際に書いてみると図1のようになる。

図1自己作成・転載OK

最後の状態が分かったのでやりとりを巻き戻せば最初の状態が分かる。やりとりの手順は、A→B、B→C、C→Aだったのでこの逆のやりとり、つまりA→C、C→B、B→Aの順にやりとりを巻き戻せばよい。まず、A→Cのやりとりをすればよい。C君がA君に300円あげたというやりとりを巻き戻すにはA君がC君に300円返せばよい。すると図2のようになる。

図2自己作成・転載OK

次に、B君がC君に600円あげたというやりとりを巻き戻す。つまり、C君がB君に600円返せばよい。すると図3のようになる。

図3自己作成・転載OK

最後に、A君がB君に所持金の半分をあげたというやりとりを巻き戻す。

今回は具体的な金額ではないので少し考える必要がある。安直に「B君がA君に所持金の半分をあげる」ではやりとりを巻き戻せていない。

A君がB君に所持金の半分をあげたことで図3のようになった。つまり、この時点でA君の所持金である800円は元の所持金の半分である。このことからA君はもともと1600円もっていて800円をB君に渡したということである。このやりとりを巻き戻すにはB君がA君に800円返せばよい。すると図4のようになる。

図4自己作成・転載OK

これですべてのやりとりを巻き戻せたのでこれがA君、B君、C君の最初の所持金です。自信のない人は問題文にそってやりとりをしてみて実際に最後にA君、B君、C君の所持金がそれぞれ1100円、2700円、3500円になることを確認すればよい。

やりとり算の解き方のまとめ

  1. 最後の状態を線分図に書く
  2. やりとりを巻き戻す

やりとり算の応用

次にさっきの問題よりも少し難しい問題を考えよう。

2⃣ A、B、C、Dの4つの容器に水が入っている。最初CにはAの3倍だけの水が入っている。CからBに0.6L、CからDに1.5L移し、次にBからAに0.5L移したところ全ての容器の水の量が等しくなった。最初にそれぞれの容器にはどれだけの水が入っていたでしょうか。

この問題も3のやりとり算の解き方のまとめに沿って解いてみよう。

  1. 最後の状態を線分図に書く 最後は全て同じ量になっているので図5のようになる。

    図5自己作成・転載OK

  2. やりとりを巻き戻す
    BからAに0.5L移したやりとりを巻き戻すにはAからBに0.5L戻せばよい。すると図6のようになる。

     

    図6自己作成・転載OK

    次に、CからDに1.5L移すやりとりとCからBに0.6L移すやりとりを巻き戻す。つまり、DからCに1.5L戻し、BからCに0.6L戻せばよい。すると図7のようになる。

    図7自己作成・転載OK

    これが最初の状態となります。まだ使っていない情報は最初CにはAの3倍の水が入っていたという情報です。図7よりAとCの水の量の差は0.5+1.5+0.6=2.6Lです。

    最初のAの水の量を①とするとCの水の量は③となります。つまりその差は②でこれが2.6Lに等しい。

    つまり①=1.3Lとなります。Cはその3倍つまり3.9Lです。Aに0.5L足すと1.8Lとなり図7よりこれが最後のA、B、C、Dの水の量となります。Bは図にしたがって計算することで最初の水の量は1.7L、Dは0.3Lと分かります。

    よってA、B、C、Dのそれぞれの最初の水の量は1.3L、1.7L、3.9L、0.3Lと分かりました。

しっかりと手順に沿ってやれば解けるはずなので、類題を解いて慣れておきましょう。

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