今回は比例と反比例について取り上げるシリーズの3回目として，実際の入試問題に登場した比例や反比例の問題をご紹介していきたいと思います。前々回で扱った比例・反比例の考え方，前回扱ったグラフの書き方・読み方を活かしての解説となりますので，この単元について不安な方がいましたらリンク先の記事でご確認ください。
Contents
初級編・中級編のおさらい！
まずは初級編・中級編で習ったことを軽くおさらいしておきましょう。そもそも比例や反比例とは，2つの数の関係性のことを指します。このうち比例とは，片方の数が2倍，3倍，…になるともう片方の数もそれに伴って2倍，3倍，…になる関係を意味しました。他方反比例とは，片方の数が2倍，3倍，…になると，もう片方の数は2分の1，3分の1，…に減っていく関係を意味しました。まずはここをかっちり押さえておきましょう。
次に覚えていただきたかったのが問題を解く上で注目するところや解く手順ですね。問題を解く上で大切なのが，2つの数の関係が比例・反比例・どちらでもない，のどれかを見分けること，その上で1つずつ数を増やしていったときの変化に着目することでした。今回引用する問題もこれらの原則に則って解いていきましょう。
中級編ではグラフの書き方や読み取り方をご紹介しましたね。こちらは今回の4選では登場しませんが，ものによってはグラフを書くことで関係がわかりやすくできることもあるでしょう。グラフを書いたり読んだりする上で大切なことが，大まかな形としてグラフを眺めて関係を判別することです。ぜひ参考にしてみてください。
問題① 典型的な比例問題！
それではまずは簡単な問題から解いていくことにしましょう。ちなみに今回の問題に反比例は含まれていません。反比例のような問題は，余りという要素が加わって過不足算として出題されやすいからです。そのため比例をマスターする気持ちで解き進めていただければと思います。
長さ6mで重さ200gの針金があります。 針金の重さは長さに比例します。この針からの重さが660グラムのとき，針金の長さは何mですか。
(春日部共栄中学校(2021)，一部改題)
解説①
いかがでしたでしょうか。文中に比例と書いてあることから，「2つの数の関係が比例なのだな」とわかりやすかったですね。そのため解きやすかったと思われます。しかし計算がやや複雑であるため，上で紹介した手順を振り返りながら答えを確認していきましょう。
この問題では針金の長さと重さが比例しているということが示されていますので，比例かどうか確認するステップは飛ばせそうです。そのため6m200gという数値を基準に表を作ってみましょう。
この表からもわかるように，重さと長さは比例していますから，重さが200gから660gになったとき，重さと同じ倍率で長さの値も大きくなることがわかります。660は200の3.3倍なので，同じように6mという値に3.3をかければ答えが求まりますね。このことから6×3.3=19.8cmとなります。
A.19.8cm
問題② 隠れた比例に気づこう！
続いては1問目より関係が見えにくい比例の問題を解いていきましょう。
たまおは学校の1階から2階まで階段で上るのに10秒かかります。たまおくんがこれと同じ速さで1階から6階まで登るのには何秒かかるでしょうか。
(多摩大学目黒中学校(2014)，一部改題)
解説②
この問題は無理やり比例を使わなくても解けるような，謎々みたいな問題になっています。そのため問題をただ解くというより，比例の観点から問題を眺めてみようという感じに近いですね。
今回は比例かどうかという判断から進めていかないといけません。基礎編で確認したように，比例を見分けるポイントは数が増えて行っても変わらない量の存在でしたね。今回は1階分階段を上がるにつき10秒かかるという速さが変わらないとありますので，階段の数とかかる時間が比例していることがわかります。
ただし，ここで「1階で10秒なら，6階で60秒！」と考えてしまうと引っかかってしまいます。1階から6階までの間に存在する階段の数は，1-2階の間・2-3階の間・3-4階の間・4-5階の間・5-6階の間の5個しかありません。時間と比例しているのは「今何回にいるか」ではなく「いくつ階段を登ったか」だ，ということですね。そのためかかる時間は10×5=50秒となります。
A.50秒
問題③ 整理して考えよう！
それでは最後の段階になります。知らない単語が色々と出てくるでしょうが，考え方さえ理解できれば後は簡単に解けると思われます。計算もそこまで複雑なものではないので，ぜひ頑張ってみてください。
車がブレーキを踏んでから停止するまでの距離には，以下の3つがあります。
- 空走距離：運転者がブレーキを踏んでから，実際にブレーキが効き始めるまでの距離
- 制動距離：ブレーキが効き始めてから，車が停止するまでの距離
- 停止距離：空走距離+制動距離
次の表は，空走距離，制動距離，停止距離を車の速さごとに表したものです。このとき，次の各問いに答えなさい。
(1)空走距離は，車の速さに比例します。(あ)に当てはまる数はいくつですか。
(2)制動距離は，車の速さが2倍になると4倍に，3倍になると9倍に，4倍になると16倍に，5倍になると25倍になります。(い)に当てはまる数はいくつですか。
(3) (う)に当てはまる数はいくつですか。
(山手学院中学校(2018)，一部改題)
解説③
それでは(1)の問題から始めていきましょう。問題は空走距離に関するものでした。ここで空走距離は車の速さに比例すると言われているので，比例かどうかの確認はスキップしても良さそうですね。そして表を作ることについても，すでに問題で紹介されていることから飛ばせそうです。
そのためここからは表を見ながら，距離と速さの数値を2倍，3倍，…と変化させていき，(あ)の数字を埋めましょう。いまこの表から，時速40kmのときに空走距離が12mになると読み取れます。そして(あ)の数字は時速100kmにおける空走距離を指すため，40を100にするのと同じ倍率を12にかけると計算できる，と予想が立てられますね。100は40の2.5倍なので，答えは12×2.5=30mになります。
続いて(2)に取り掛かりましょう。こちらは制動距離に関する問題でした。(1)で扱った比例に釣られないように考えていただきたいのですが，こちらは速さが2倍になると距離が4倍に，3倍になると9倍に，…と変化する関係になっています。この関係は小学生では習わない二次関数というものなのですが，考え方だけ知っておくと便利かもしれません。この関係は，速さが2倍になると距離が2×2倍に，3倍になると3×3倍に，…と言い換えられます。つまり片方が○倍になると，もう片方は「○を2回かけた数」倍になるというわけです。こういう数量関係もあるんだな，と頭の片隅に入れておきましょう。
さて，それでは改めて(い)の数値に着目します。 この表から制動距離に関して，時速20kmのときに2mになることがわかります。そして(い)の数字は時速60 kmにおける制動距離を指します。ここで速さの60という数字は20に3をかけたものですから，制動距離の2mという数字に，3を2回かけた9をかけてあげれば答えが求まりそうです。このことから答えは2×(3×3)=18mとなります。
では最後にここまでやったことを活かして(3)を解きましょう。次に考えるのは停止距離です。停止距離とは空想距離と制動距離を足したものですから，時速80kmのときの空走距離と制動距離を別々に出して足すことで答えが求まりそうです。
ここで空想距離に関して注目すると，時速80 kmのときの値は，時速40kmのときの12mという値をそれぞれ2倍することで計算できます。12×2=24ですので，(う)の空走距離の部分の数値は24mということになりますね。
続いて制動距離に注目しましょう。(2)と同じ要領で考えると，時速80kmのときの値は，時速20kmのときの2mという値を4×4=16倍することで計算できそうです。これより時速80kmのときの制動距離は2×16=32mだとわかります。
以上のことから，(う)の欄の停止距離は24+32=56mとなります。
A.(あ)30，(い)18，(う)56
今回の問題③はパッとみた限り表があったり知らない単語があったりと難しそうに感じた人が多いでしょうが，実際中身を見てみると簡単な計算が多かったのではないでしょうか。受験校にもよるでしょうが，実は中学受験レベルで登場する比例は意外とそこまで複雑じゃないことが多いです。問題を通してそのことを実感していただけましたら幸いです。
まとめ
今回の記事では比例と反比例に取り扱う記事の応用編として入試問題を5問ご紹介し，その解説を行っていきました。たくさん解けた人もいれば全く歯が立たなかった人もいるでしょうが，大切なことはコツコツ理解を深めていくことです。余裕があった人はよりレベルアップした問題に，余裕がなかった人は基礎に立ち直るような問題に挑戦することで受験への準備を完璧にしていきましょう。本記事が今後の学習のお役に立てば幸いです。
