算数の空きビンの問題、これで絶対に間違えない!

算数の問題で、「ジュースの空きビン5本で新しいジュース1本と交換してもらえる」という問題があります。

例えば100本買ったら、20本もらえて、そこからさらに4本もらえて…というように求めることはできますね。

しかしこの考え方をしていると、逆に「全部で100本飲むためには何本買えばいいでしょうか?」という問題では解けなくなります。

「5本で1本もらえるから、5+1=6でわるんじゃないの?」と思う方が多いのではないでしょうか。実はそれ、間違っています。

「5本のうち1本がもらえるということは、100÷5=20もらえるから100-20=80でしょう!」いえいえ、それも間違っています。

80本買ったら、16本もらえて、そこからさらに3本もらえますが、全部で99本しかないですよね。(だから+1本して81本が正解)

どう考えれば解けるようになるのか、間違えない考え方をご紹介します。

大事なのは「初めの1本」

なんとなく「だるまさんが転んだ」を連想する方が多いのではないでしょうか。「初めのいーっぽ」ならぬ「初めの1本」が、この問題では重要な役割を果たします。

百聞は一見にしかず、まずはこちらの図をご覧ください。

(問題)あるお店では、そのお店で売っているジュースの空きビン5本を持っていくと、新しいジュース1本と交換できます。最初に100本のジュースを買うと全部で何本のジュースが飲むことができますか。

上の図では、「買ったジュース=牛乳」「もらったジュース=コーヒー牛乳」で表しています。ツッコミたい気持ちは非常によくわかりますが、どうか大目に見て下さい。(絵でわかる人にはわかると思いますが、いらすとやさんにお世話になっています。)

さて上の図で見ていただくとおわかりかと思うのですが、「初めの1本」を買うのは当たり前として、残りは「4本買い足せば1本もらえる」というシステムになっています。つまり、99÷4で「もらえる本数」が計算できるということになるのです。

この考え方を使うと、逆から考えなければならない問題の時にも、間違えずに計算することができます。

逆の場合も間違えずに計算できる!

さて、先ほどの問題とは逆に「全部で〇〇本のジュースを飲むためには~」という問題について考えてみましょう。

(問題)あるお店では、そのお店で売っているジュースの空きビンを5本持っていくと新しいジュース1本と交換できます。全部で100本以上のジュースを飲むためには、最低何本のジュースを買えばよいですか。

この場合にも先ほどの問題と同様に「初めの1本は必ず買う」として、「残りは4本買うごとに1本もらえる=5本のうち1本がもらったもの」として考えます。すると上の図の解説のように、「99÷5=19(セット)あまり4」だから「19本もらえる」ということになります。

ここで、「あまりの4本でもう1本もらえるんじゃないの?」と気づいた人は素晴らしいです。その通りなのです。

問題でも「100本以上」となっているのがポイントです。実は「100本ぴったり」になることはありません。あまりの4本でもう1本もらえるので、100+1=101本になります。そのとき、もらった本数が1本増えているので「20本もらえる」ということになります。上の解説と答えが変わるのかというと、変わりません。101-20=81(本)が正解となります。

初めが1本じゃないパターンもある

序盤で「初めの1本が大事」と書いたばかりですが、実は初めは1本ではなくなる場合もあります。

「〇本持っていくと1本もらえる」という問題であれば、すべて「初めの1本」を最初に除いて考えることができます。

しかし、「〇本持っていくと2本もらえる」という問題になれば、「初めの1本」ではなくなります。下の図をご覧ください。

(問題)あるお店では、そのお店で売っているジュースの空きビンを7本持っていくと新しいジュース2本と交換できます。全部で100本以上のジュースを飲むためには、最低何本のジュースを買えばよいですか。

上のように、「2本もらえる」という問題になれば「初めに2本」買い、残りは「5本買い足せば2本もらえる」という問題になります。

この問題であれば、上の解説のように、「1セットにつき2本もらえるから、14セットで28本もらえる」と考えればよいです。

このように、「もらえるのと同じ本数分だけ最初に買い、残りをセットにして求める」という方法で計算していくと、間違えることなく考えることが可能になるのです。

最後に

2枚目の図の中にも書きましたが、実際に問題を解くときに、ちゃんとしたジュースの絵(今回はなぜか牛乳)を描く必要はありません。実際に問題を解くときには「買ったジュース=〇、もらったジュース=●」というように記号で表して考えます。

実はこの問題は「テープつなぎ」の問題にとてもよく似ています。

例えば「長さ10㎝のテープ10本を、のりしろ1㎝でつなぐと全部で何㎝になりますか。」というような問題の場合に、「のりしろが10ー1=9か所だから10×10-9=91(cm)」と考える人は、逆の考え方のときに答えが出せなくなります。「初めのテープだけ1㎝長くて、残りはのりしろ分短いから1本あたり9㎝ずつ⇒1+9×10=91(cm)」と考えれば、逆の考え方のときにも答えが出せます。

テープつなぎも、この空きビンの問題も、どちらも「規則性」という単元に当てはまります。植木算とも似ていますよね。規則性の問題はどうしても答えがずれやすいので、間違えない考え方を身につけていきましょう。

 

(ライター:桂川)

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