【中学受験算数】3段つるかめを解く3つの方法

中学受験の算数では、小学校では扱わないような内容の問題が出題されることがあります。

そのような問題について受験算数の範囲では方程式を使わず、別のアプローチ方法で考えさせます。かえって、方程式を使わない方が簡単に解ける場合もあります。

今回は、つるかめ算の応用の「3段つるかめ」と呼ばれる問題について、解き方を3つご紹介します。

つるかめ算の基本はこちら→【中学受験】つるかめ算のわかりやすい解き方

表で調べる方法

つるかめ算の基本でも最初に紹介した方法です。この方法なら、解けない問題はありません。なぜなら、「見つかるまで地道に探せばいい」という考え方だからです。もちろん、途中から規則がわかれば規則性を利用すればいい話です。

メリットは(計算間違えがなければ)必ず答えが見つかる点、デメリットは規則が見つかるまで調べるのがちょっと面倒くさい点でしょうか。例えば、次のように解いていきます。

  • (問題)つるとかめとカブトムシの頭の数は合わせて30で、足の合計本数は126本です。つるとかめの頭の数は同じだとすると、カブトムシは何匹いますか。
  • (考え方)つるとかめの頭の数が同じなので、両方が0の状態から順番に調べていきます。全部カブトムシなら足の数は180本、その後、つるとかめの頭の数を1ずつ増やすごとに、足の本数が6ずつ減っていくことがわかります。
  • (解答)(180-126)÷6=9→つるとかめの頭の数がそれぞれ9です。カブトムシは、30-9×2=12(匹)です。

この解き方で解けるのは、3つ(仮にA、B、C)のうちの2つ(A、B)について「AとBの数が同じ」「AがBより〇多い」「AがBの2倍」などの条件が与えられている場合です。条件に従って、Aが一番少ない状態(または一番多い状態)から順番に2つか3つほど書き出すと、全体の数が規則的に変動していくことがわかるはずです。そこで、全体が問題の条件の数になるのが何番目の状態かを計算すればよいことになります。3段つるかめの問題は、このような条件がついていることが多いので、条件にしたがって表で調べていくのは実はとても有効的な方法です。

3段を2段にして解く(面積図)

表で解く方法以外に、面積図で解く方法があります。面積図で解く場合、3段つるかめの問題であっても、2段つるかめに直すことが可能です。ただし、それには先ほどと同様に3つの数のうちの2つについて条件が与えられている場合に限ります。この3つのうちの条件が与えられている2つについて、「平均を取る」という考え方で1つにまとめてしまう方法です。

メリットは素早く正確に解ける点、デメリットは平均を利用するのが少し高度なテクニックである点でしょうか。(少し高度といっても、慣れてしまうとそこまで難しくもないと思いますが)

では先ほど表で解いた問題を、面積図で解くとどうなるか見てみましょう。

  • (問題)つるとかめとカブトムシの頭の数は合わせて30で、足の合計本数は126本です。つるとかめの頭の数は同じだとすると、カブトムシは何匹いますか。
  • (考え方)つるとかめの頭の数が同じなので、つるとかめの足の数を平均します。つるかめの平均の足の数は、(2+4)÷2=3(本)です。このあとは、普通のつるかめ算と同じように解きます。
  • (解答)つるかめの足の数を平均3本として2段つるかめで解きます(※)。(126-3×30)÷(6-3)=12(匹)←カブトムシ

※「つるかめ算で解く」の方法がわからない人はこちらの記事を先にお読みください。→【中学受験】つるかめ算のわかりやすい解き方

3つのうちの2つについて、「AとBが同じ」であれば上記のようにたして2で割れば平均が出せます。「AがBより〇多い」であれば、〇の分だけ先に全体から引けば、残りは「AとBが同じ」と同様に考えることができます。

平均を利用して解く問題について、もう1問見てみましょう。

平均の取り方に気をつける

3つのうちの2つについて条件が与えられている場合、その2つについて平均を取ることで2段つるかめにして解くことができます。その中で、「AがBの2倍」などの書き方の場合、平均の取り方は「単純にたして2で割る」という方法ではないので気をつけましょう。

実際に次の問題を考えてみます。

  • (問題)商品A、商品B、商品Cの1個あたりの値段は30円、60円、100円です。商品A、商品B、商品Cを3種類合わせて50個買い、合計金額は2840円でした。買った商品Aの個数は商品Bの個数の2倍でした。商品Cは何個買いましたか。
  • (考え方)AとBの値段を平均します。AがBの2倍ということは、Aを2個買ったらBを1個買うということです。このときの1個あたりの平均は、(30×2+60×1)÷3=40(円)です。
  • (解答)ABの平均を40円として、2段つるかめで解きます。(2840-40×50)÷(100-40)=14(個)←Cの個数
  • (補足)A、Bの個数については、50-14=36(個)を2:1に比例配分します。36÷(2+1)=12より、Aは12×2=24(個)、Bは12個です。

平均の考え方については、こちらの記事も参考にしてください。→往復の平均の速さ、間違えずに求められますか?

この「平均を利用して2段つるかめで解く」ということができるようになると、3段つるかめの問題のほとんどはもう怖いものではなくなるはずです。

しかし、中には2段つるかめにできずに3段のままで考える問題もあります。最後にそういった問題を1つご紹介します。

 3段つるかめで解く

3つのうちの2つに条件が特に与えられていないような場合には、全体の条件だけで答えが1通りに定まるか、「考えられるだけ求めなさい」というように複数の解答を要求される問題になります。このような問題は「不定方程式」とも呼ばれ、当てはめて該当する数値を探していくことになります。

具体的にどのような問題になるのかを見てみましょう。

  • (問題)大、中、小の3種類の玉が売っています。大は1個200円、中は1個120円、小は1個50円です。3種類の玉を合わせていくつか買ったところ、全部で20個買って合計1800円でした。それぞれ何個買いましたか。
  • (考え方)どれを買っても最低50円はかかるので、まずその分を引くと残りは800円です。200-50=150(円)と120-50=70(円)を組み合わせてこの800円になるようにアとイを考えます。
  • (解答)1800-50×20=800(円)が残りです。150×ア+70×イ=800→15×ア+7×イ=80となるアとイは、ア=3、イ=5です。よって、大は3個、中は5個、小は20-(3+5)=12(個)です。

問題文が「考えられるだけ答えなさい」や「~となる例を1つ書きなさい」という文章の場合は、答えが1つに定まらないためにいくつか探していくことになります。そうでない場合には、答えは1通りに定まるはずです。

答えを定めるための探し方としては、3つのうちの2つの数に注目し、「どちらかの小さい方から(または大きい方から)順に当てはめる」という方法で考えれば失敗はありません。それ以外にも、例えば上記の問題の解説のように、「7だけが5の倍数になっていないので、イは5の倍数」というような見つけ方ができる場合があります。

今回ご紹介した3つの方法をうまく使えば、3段つるかめの問題で解けない問題はほとんどないはずです。ぜひ頑張ってください。

(ライター:桂川)

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