例題付き！連立方程式の解き方と失敗しないコツ

連立方程式は意外につまずく人が多いテーマです。そこで今回は連立方程式について、数学が苦手な人でもわかるように解説していきます。

Contents

1 連立方程式とは
2 連立方程式の例
- 2.1 代入法の解き方
- 2.2 加減法の解き方
3 連立方程式のパターン
4 よくあるつまずきポイント
- 4.1 計算ミス
- 4.2 文章題
5 演習問題
- 5.1 問題
- 5.2 解説
6 まとめ……の前に
7 まとめ
8 おすすめ記事
9 参考

連立方程式とは

連立方程式とはそもそもなんのことなのでしょうか。それは、「2つ以上の未知数をふくむ方程式が、2つ以上並んでいるもの」と考えることができます。

ここで重要なのが、「未知数の個数と同じだけ方程式がないと解けない」ということです。

例えば、「2つの未知数を含んでいたら、最低2つ方程式がないと解けない」、「3つの未知数を含んでいたら、最低3つ方程式がないと解けない」ということを意味しています。そして、2つの未知数を含んだ、次数が1次の方程式のことを、2元1次方程式と言います。未知数が3つになったら3元1次方程式と言います。この記事では特に2元1次連立方程式の解説をしていきます。

このあたりの用語が怪しい人は、「解説を読んでもわからない」という失敗に繋がる危険性が高いので、教科書を見てしっかり確認しましょう。

連立方程式の例

2元1次連立方程式（以下の文章では「連立方程式」と書くことにします）は例えばこんな形で出てきます。

$$\begin{cases}2x+y=4\\ 4x+3y=8\end{cases}$$

この情報から、$x$と$y$の解を出せと言われるのがよくあるパターンです。全ての「連立方程式」の解き方はいたってシンプルで、「文字を1つにする」ことを目指します。その方法は2通りあり、それぞれ「代入法」・「加減法」と呼ばれています。

代入法の解き方

代入法は、片方の式を変形して「$x=\cdots$」の式か「$y=\cdots$」の式を作り、それをもう一方に代入します。先ほどの式を使うと、

$$\begin{cases}2x+y=4\cdots①\\4x+3y=8\cdots②\end{cases}$$

①より$y=4-2x$を②に代入して、

$$4x+3(4-2x)=8$$

$$4x+12-6x=8$$

$$-2x=-4$$

$$x=2$$

これを①に代入すると$y=0$

よって、

$$\begin{cases}x=2\\ y=0\end{cases}$$

という回答の流れになります。

加減法の解き方

加減法は文字の係数を揃えて、上下に並べて足したり引いたりすることで片方の文字を消すという作業をします。先ほどの式を使うと、

$y$を削除する場合、

$$\begin{cases}2x+y=4\cdots①\\4x+3y=8\cdots②\end{cases}$$

②-①×2より

$$\begin{array}{lc} & 4x+3y=8 \\ – & 4x+2y=8 \\ \hline & y=0 \end{array}$$

これを①または②に代入して、$x=2$ $x$を削除する場合、

$$\begin{cases}2x+y=4\cdots①\\4x+3y=8\cdots②\end{cases}$$

①×3-②より、

$$\begin{array}{lc} & 6x+3y=12 \\ – & 4x+3y=8 \\ \hline & 2x=4 \\ & x=2\end{array}$$

これを①に代入して、$y=0$

という回答の流れになります。

連立方程式のパターン

連立方程式のパターンは大きく分けて３パターンあります。しかしながら、その解き方はすべて上に書いた「代入法」か「加減法」になります。落ち着いて解きましょう。

$ax+by=c$の形になっている

これは上に書いた例と同じものになります。

$$\begin{cases}2x+y=4\\ 4x+3y=8\end{cases}$$

変化したパターンとして、少数が含まれているものがありますが、落ち着いて10倍すれば整数のみの式にすることができます。あとは同じです。

$$\begin{cases}0.2x+y=0.4\\ 4x+0.3y=0.8\end{cases}$$

10倍すると

$$\begin{cases}2x+10y=4\\ 40x+3y=8\end{cases}$$

また別の変化したパターンとして、分数が含まれているものがあります。これは分母の最小公倍数をかけることで、整数の式に直すことができます。

$$\begin{cases}\frac {1}{3}x+\frac {1}{2}y=\frac {2}{3}\cdots①\\\frac {1}{2}x+\frac {3}{5}y=\frac {7}{2}\cdots②\end{cases}$$

①×6, ②×10より、

$$\begin{cases}2x+3y=4\cdots①’\\5x+6y=7\cdots②’\end{cases}$$

片方の辺に式が寄っている

このパターンは一見すると連立方程式じゃないように錯覚してしまいますが、連立方程式です。しかもたいていの場合、代入法によって解くことができます（もちろん加減法でも解けます）。

例えばさっきの式が

$$\begin{cases}y=-2x+4\\4x+3y=8\end{cases}$$

という形で出てきても、連立方程式であることには変わりないので、落ち着いて代入してください。また、

$$\begin{cases}4y=3x+5\\2x+3y=8\end{cases}$$

という形で出てきた場合、$ax+by=c$の形に直してから加減法を使ってもいいですし、代入法を使っても構いません。

連なった形をしている

連立方程式が$A=B=C$という形で出てくることがあります。

これは例えば、

$$2x+y=4x+3y=5x+7$$

という形で出てきますが、落ち着いて、

$$\begin{cases}2x+y=4x+3y\\4x+3y=5x+7y\end{cases}$$

と分解して、

$$\begin{cases}x+y=0\\x+4y=0\end{cases}$$

といった形で整理すれば解くことができます。

よくあるつまずきポイント

最後に、連立方程式でつまずきやすいポイントについて解説します。

計算ミス

計算ミスはどの数学の分野でも避けては通れないですが、連立方程式には特有のミスをしやすいポイントがあります。文字と式の計算が身についていない人は中学1年生の教科書を引っ張ってきて練習をしてきてほしいですが、身についている人でも、数学が得意な人でも、高校生になっても、このミスは発生します。それは、「加減法で係数を揃えるときに、右辺に掛け忘れてしまう」というミスです。例えば、

$$\begin{cases}0.2x+0.1y=4\\0.4x+0.3y=0.8\end{cases}$$

とあったときに

$$\begin{cases}2x+y=4\\4x+3y=8\end{cases}$$

としてしまうミスです（筆者は大学4年生にもなってつい最近似たようなミスをしました）。気づきましたでしょうか。これは「気をつけて…！」としか言いようがないですが、「毎回、掛けたあとは右辺を確認する」という自分ルールを作るなどの対策で減らすことは可能です。

文章題

これもまた連立方程式のつまずきポイントの代表格ではないでしょうか。対策法はいくつかありますが、オススメは2つです。1つは「図を書くこと」、もう1つは「わからないものを箇条書きにすること」です。

まず、図を書くことは全体の状況を理解し、整理することに役立ちます。最初のうちは下手でもかまわないので、図を書いてみましょう。解説の図を写してみることも初めの1回なら効果的ですが、必ず「なぜその図になるのか」を理解しようとしてください。

次に、わからないものを箇条書きにすることは、何を文字で置いたらいいかを明確にしてくれます。しばしばあるのが、「ただの（$x$だけ使う）方程式の問題かと思ったら解けなかったから解説を見たら（$x$も$y$も使う）連立方程式の問題だった！」という現象です。「連立方程式」の存在が解説を読むまで頭から飛んでいるため、解ける問題も解けなかったということが発生します。なので、わからないもの（文字になりそうなもの）を箇条書きにするというのは問題を理解する上でも、連立方程式を思い出すためにも効果的です。

演習問題

問題

解説

まとめ……の前に

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まとめ

以上を通して、連立方程式とは何か、問題例、出題パターン、よくあるつまずきポイントを解説してきました。

連立方程式は高校生になっても使い続ける計算テクニックです。ぜひミスなくできるようにマスターしてください。ゆくゆくは、早く解けるようになったら完璧です！

参考

宮原大祐

こんにちは。東京大学教育学部の宮原大祐です。
突然ですがみなさんは勉強は好きですか？僕はずっと勉強自体の楽しさはわからなくて、ただやみくもに暗記して順位を上げることだけ考えてました。それはそれでゲームみたいで楽しかったんですけどね（笑）。勉強自体の楽しさに気づけたのは大学受験に失敗した浪人以降ですが、世界が変わりました。だから、大学1年生の時からやっている個別指導の塾では、もちろん点数を上げたり、順位を上げたりっていうこともサポートしてきたんですけど、「考えることの楽しさ」、「勉強自体の楽しさ」もわかってもらえるように授業してきました。
さて、今回はWeb記事を通じてみなさんに勉強のことを伝えられる仕事をいただけました。みなさんにそれが少しでも伝わったらいいなと思っています。

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