わり算が早くできるようになる!約数を見つけるコツをご紹介します!

有名な倍数判定法

見分け方

2の倍数 下1桁が2の倍数 4,98,754,
3の倍数 それぞれの位(くらい)の和が3の倍数 42,57,123,1572
4の倍数 下2桁が4の倍数 116,3984,62152
5の倍数 下1桁が0または5 25,180,2685
6の倍数 下1桁が2の倍数かつそれぞれの位の和が3の倍数 42,180,1572
8の倍数 下3桁が8の倍数 3984,62152
9の倍数 それぞれの位(くらい)の和が9の倍数

279,9837,86157

11の倍数 奇数の位(くらい)の和と偶数の位の和の差が0か11の倍数 121,574,1089

[表1 見分け方早見表]

さてこれらの見分け方についてですが、直感的にわかりやすいもの(2の倍数や5の倍数)とそうでないものがあると思いますので、解説していきます。なぜそうなるのかの理由は、知らなくてもそんなに困らないので読み飛ばしてもらっても構いません。

4・8の倍数判定法

まず4の倍数についてですが、「100は4で割り切ることができる」が理由になります。例えば3984の場合、3900の部分は4で割り切れるので、84が4で割り切れるかどうかだけ考えればいいのです。

3984=3900+84=100\times39+84
=4\times25\times39+4\times21
=4\times(25\times39+21)

同様にして、8の倍数については「1000は8で割り切ることができる」が理由になります。

3・9の倍数判定法

次に3の倍数と9の倍数についてです。これは数式を用いて証明します。例えば3桁の数字について考えると、図1のようになります。3(33a+3b)の部分は3で割り切れるので、(a+b+c)が3で割り切れるならば、元の数字(100a+10b+c)も3で割り切れることになります。また同様に、3(33a+3b)は9でも割り切れるので、(a+b+c)が9で割り切れるならば、元の数字(100a+10b+c)も9で割り切れることになります。3桁より大きい桁数でも成り立つことは同様に示すことができますので、興味があったらやってみてください。

[図1 3の倍数/9の倍数の見分け方]

11の倍数判定法

最後に11の倍数の判定方法についても紹介しておきます。(この判定方法は、言葉の説明がややこしい、且つ、そこまで頻繁に使うものではない気がするので、参考程度の扱いで大丈夫です)

証明の際には、10, 1000, 1000, 10000, ・・・の近くで11の倍数を探すことがポイントとなります。

今、任意の4桁の数Nがあるとします。(桁数が増えても証明の手順は変わりません)このNの各桁の値を大き方からa, b, c, dとすると、Nは、

N= 1000a+100b+10c+d
=(1001a-a)+(99b+b)+(11c-c)+d

と表すことができます。

この時、1001a, 99b, 11cは共に11の倍数なので、式を整理すると、

N=1001a+99b+11c-a+b-c+d
=11\times(91a+9b+c)+\{(b+d)-(a+c)\}

となり、(b+d)-(a+c)の部分が0か11の倍数であれば、Nも11の倍数であることがわかります。

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