N進法の問題は、得意不得意の分かれるところです。
数の感覚や規則性に対して強いタイプのお子さんであれば、初めて解いてみたときにもそんなに難しくは感じないかもしれません。逆に、数の感覚が弱かったり、規則にすぐ気づけないタイプのお子さんは、まず初めに混乱するので苦手としやすい範囲だと思われます。
普段の生活の中ではあまり使わない数の数え方をしますので、最初の学習のタイミングである程度の基本の考え方については「簡単だ」と思える程度に理解しておくのが望ましいです。
この記事では、小学生でもすんなりと理解できる、「わかりやすいN進法の考え方」をお伝えします。
身の回りで使っている「N進法」
まず、私たちが普段の日常生活の中で使っている「数の数え方」は「十進法」です。「いーち、にーい、さーん、…」と数えていったとき、初めて2桁になるのは「10」のときですね。1つの桁の中で使える数字は、0から9までの10個です。
今までそういう数の数え方しかしてこなかったのに、いきなり「では、今日は二進法の問題を解きましょう（ニコッ）」と言われても、混乱しますよね。
しかし、小学生以上であれば、大半の子がすでに十進法以外の「N進法」をひとつ知っているはずです。
おわかりになりましたでしょうか。それは、「時計」のことです。
上のように、十進法をお金で例えてみると、「1円玉10枚で10円玉1枚」「10円玉10枚で100円玉1枚」というように、10こ集まったら次の位の数１こに変えていきます。
同様にして、「1秒が60こで1分」「1分が60こで1時間」というように、時計の考え方は「六十進法」であると言えます。
二進法や三進法を新たに習うからと言って、難しく考えてしまったり構える必要はないのです。すでに「十進法」の他に、「六十進法」を理解できているわけですから、それと同じようにして考えていけばよいのです。
N進法の種類
中学受験の算数で扱うN進法の問題の多くは、二進法～九進法までです。中には「変則N進法」という問題もありますが、今回は割愛します。まずは基本をしっかりと理解していきましょう。
十進法が「一の位、十の位、百の位、千の位」と位が進むごとに数が10倍になるのと同じように、二進法であれば2倍、三進法であれば3倍というようにして「次の位」を考えていきます。
上の図の中では五進法までしか載せていませんが、同様にして考えれば他のN進法でもどのように数を作ればよいのかがわかるのではないでしょうか。また、いずれも4桁分しか書いていませんが、桁数はもっと増えていく場合ももちろんあります。
では次に、まずは二進法を使って実際に基本の問題を解いてみましょう。
二進法の基本問題
十進法が「10個集まったら次の位へ」だったのと同じように考えると、二進法は「2個集まったら次の位へ」と考えます。「1円玉2枚で2円玉1枚、2円玉2枚で4円玉1枚」というようなイメージですね。
では次の問題を考えてみましょう。
- （問題）100を二進法で表しましょう。
上のように100を２でわっていきます。あまりが出たらあまりはその位に残ると考えます。時計の計算でも、もし100秒だったら60で割って分と秒を計算できるわけですから、それと同じ要領です。
- 100÷2＝50 あまり0 →1の位は0
- 50÷2＝25 あまり0 →2の位は0
- 25÷2＝12 あまり1 →4の位は1
- 12÷2＝6 あまり0 →8の位は0
- 6÷2＝3 あまり0 →16の位は0
- 3÷2＝1 あまり1 →32の位は1
- 最後に残った1 →64の位は1
- 以上より、十進法で「100」＝二進法で「1100100」
このように、計算で求めることが可能です。または、上の図のように先に各位の数（1の位、2の位、4の位、…）を計算しておいて、大きい数から順に引いていくという方法もあります。
では逆に、二進法の数を十進法に直すとどうなるでしょうか。
- （問題）二進法で10101となる数を十進法で表しましょう。
- 「10101」は、「16の位＝1、8の位＝0、4の位＝1、2の位＝0、1の位＝1」となります。0のところは計算しなくてよいので、16×1＋4×1＋1×1＝21となります。
このように、各位の数の考え方を理解することでN進法は解けるようになります。
「使える数字が『0』と『1』の2つのみ」、「1つの位の中に数が2こ集まったら移動する」などの条件があったら二進法の問題と考えることができます。同様にして、三進法、四進法など、Nがいくつに変化しても考えられるようになります。
三進法の基本問題
十進法も六十進法も理解していて、二進法もわかるようになればあとはもうほとんど大差ないでしょう。使う数の大きさが変わっていくだけで、根本的な考え方は同じです。
しかし「え、そんな簡単にできるようになるわけないじゃない…」と不安な方のために、実際に三進法にも挑戦してみましょう。
- （問題）100を三進法で表しましょう。
- 100÷3＝33 あまり1 →1の位は1
- 33÷3＝11 あまり0 →3の位は0
- 11÷3＝3 あまり2 →9の位は2
- 3÷3＝1 あまり0 →27の位は0
- 最後に残った1 →81の位は1
- 以上より、十進法で「100」＝三進法で「10201」
計算するときに「÷3」で計算していることと、各位が3倍ずつになったという点が変化しただけで、根本的な考え方は先ほどの二進法と全く同じです。
念のため、逆に十進法に直す方法を確認しましょう。
- 三進法で「10112」→81×1＋9×1＋3×1＋1×2＝95
- 四進法で「12012」→256×1＋64×2＋4×1＋1×2＝390
- 五進法で「10234」→625×1＋25×2＋5×3＋1×4＝694
二進法のときと同様に、各位の数に応じて計算していきます。これがN進法の基本の考え方になります。
まとめ……の前に
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図を使ったN進法もある
N進法の問題は、「～進法」という言葉が問題の中に出てこないこともあります。そのような問題の場合には、問題の条件から自分で「これはN進法の問題だな」と気づけるようにならなくてはなりません。
文章からの条件で判断する場合には「0～9のうち一部の数字が使えない」というのが最大のポイントになるかと思います。1つ使えなければ九進法、2つ使えなくなれば八進法です。
また、次のように図を使った問題の場合にも、N進法があります。
マス目の位置と個数によって、数値が決まっています。数の進み方に注目すると、「3」のときに左の列に移動しているので三進法だとわかります。念のためマスの中の数を書き込んでみると、三進法で考えた数と、マス目の塗られた位置が一致することがわかります。
これ以外にも実にさまざまなパターンがあります。例えば、列になった電球が「つく」「消える」で数を表す問題は、二進法で考える問題です。「つく」が「1」、「消える」が「0」を表していると考えれば、使える数が2つしかないので二進法だとわかります。
このようにして、N進法の基本を考えることができます。今まで「N進法って何か難しそう…」と思っていた方にも、「思っていたよりも結構簡単そう」と感じていただけたら幸いです。
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