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因数分解とは？
因数分解とは、1つの整式を整式の掛け算の形に変形することを指す。
例えば、最も基本的な構造を挙げれば
\(nx+ny=n(x+y)\)
といったものが考えられる。
この式では、\(n\)が共通の因数となっており、\((x+y)\)の外に\(n\)を括り出した形となっている。
以下で、因数分解を学習するにあたって必要な公式を2次式、3次式の順で紹介する。
因数分解の公式
2次式の因数分解の公式
- ①\(x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}\)
- ②\(x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}\)
- ③\(x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)\)
- ④\(x^{2}+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)\)
- ⑤\(abx^{2}+(aq+bp)x+pq=(ax+p)(bx+q)\)
⑤は慣れていないと少々難しいが、ここでたすき掛けという計算方法を用いる。
\(abx^{2}+(aq+bp)x+pq=(ax+p)(bx+q)\)
において、
たすき掛けのイメージ
以上のような計算を行うことをたすき掛けと呼ぶ。練習問題をいくつか用意してあるため、よく練習し慣れる必要がある。
3次式の因数分解の公式
- ①\(x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\)
- ②\(x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})\)
- ③\(x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}=(x+y)^{3}\)
- ④\(x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}=(x-y)^{3}\)
演習問題
問1. 2次式の因数分解
次の式を因数分解しなさい。
- ①\(3a^{2}bx+6ab^{3}x+12abx^{2}\)
- ②\((a+b)^{3}-ap-bp\)
- ③\(x^{2}+12x+36\)
- ④\(4a^{2}+28a+49\)
- ⑤\(9x^{2}-24x+16\)
- ⑥\(x^{2}+11x+28\)
- ⑦\(x^{2}-2x-63\)
- ⑧\(6x^{2}+17x+12\)
- ⑨\(8p^{2}+22pq+15q^{2}\)
問2. 3次式の因数分解
次の式を因数分解しなさい。
- ①\(a^{3}-64\)
- ②\(8x^{3}+27y^{3}\)
- ③\(p^{3}+12p^{2}+48p+64\)
- ④\(8x^{3}-36x^{2}+54x-27\)
演習問題の解答
問1. 2次式の因数分解
次の式を因数分解しなさい。
- ①\(3a^{2}bx+6ab^{3}x+12abx^{2}=3abx(a+2b^{2}+4x)\)
- ②\((a+b)^{3}-ap-bp=(a+b)\{(a+b)^{2}-p\}=(a+b)(a^{2}+2ab+b^{2}-p)\)
- ③\(x^{2}+12x+36=(x+6)^{2}\)
- ④\(4a^{2}+28a+49=(2a+7)^{2}\)
- ⑤\(9x^{2}-24x+16=(3x-4)^{2}\)
- ⑥\(x^{2}+11x+28=(x+4)(x+7)\)
- ⑦\(x^{2}-2x-63=(x+7)(x-9)\)
- ⑧\(6x^{2}+17x+12=(2x+3)(3x+4)\)
- ⑨\(8p^{2}+22pq+15q^{2}=(2p+3q)(4p+5q)\)
問2. 3次式の因数分解
次の式を因数分解しなさい。
- ①\(a^{3}-64=(a-4)(a^{2}+4x+16)\)
- ②\(8x^{3}+27y^{3}=(2x+3y)(4x^{2}+6xy+9y^{2})\)
- ③\(p^{3}+12p^{2}+48p+64=(p+4)^{3}\)
- ④\(8x^{3}-36x^{2}+54x-27=(2x-3)^{3}\)
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