1.数と式(因数分解・因数定理)〜基礎から1文字整理の因数分解までマスターしよう〜[数学1]

始めに

図1 始めに

因数分解

基本

\(ab+ac=a(b+c)\)…分配則

\((b+c)\):共通因数

【例題】

  1. \(x^{2}+(a+b)x+ab\)
  2. \(x^{2}-a^{2}\)
  3. \(x^{2}+2ax+a^{2}\)

 

【解答】

  1.  

    \(x^{2}+(a+b)x+ab=x^{2}+ax+bx+ab\)

    \(=x(x+a)+b(x+a)\)

    \(A=x+a\)と置くと、…置換

    \(=xA+bA\)

    \(=A(x+b)\)

    ここで\(A\)を戻すと

    \(=(x+a)(x+b)\)

  2.  

    \(x^{2}-a^{2}=x^{2}-ax+ax-a^{2}\)

    0となるように項を増やす帳尻合わせ

    \(=x(x-a)+a(x-a)\)

    \(=(x-a)(x+a)\)

  3.  

    \(x^{2}+2ax+a^{2}=x^{2}+ax+ax+a^{2}\)

    \(=x(x+a)+a(x+a)\)

    \(=(x+a)(x+a)\)

    \(=(x+a)^{2}\)

 

【解法の手順】

step1:定数項の絶対値と因数分解
step2:定数項が、正→和、負→差を考える
step3:1次係数の絶対値に等しいものを選択
step4:1次係数の符号を等しくなるように符号をつける
step5:共通因数で括る

 

たすき掛け

図2 たすき掛け

【解法の手順】

step1:2次係数と定数項の絶対値を因数分解
step2:たすきに掛ける
step3:定数項が、正→和、負→差を考える
step4:1次係数の絶対値に等しいものを選択
step5:1次係数の符号と等しくなるように符号をつける
step6:共通因数で括る

 

  • Ex.

    \(3x^{2}-14x+8=3x^{2}+12x-2x+8\) \(=3x(x-4)-2(x-4)\) \(=(x-4)(3x-2)\)

図3 たすき掛け Ex.

 

【裏技】

step1:\(ax^2+bx+c=0\)→積\(ac\)、和\(b\)の組を探す
step2:\(a\)との比を考える
step3:共通因数で括る

 

  • Ex.  

    \( 3x^{2}-14x+8\)

    積24、和-14

    \(=(x-4)(3x-2)\)

 

証明)

\(ax^{2}+bx+c=\frac{a}{a}(ax^{2}+bx+c)\)

\(\frac{1}{a}[(ax)^{2}+b(ax)+ac]\)

 \(ax=A\)で置換すると、

\(=\frac{1}{a}[(A)^{2}+bA+ac]\)

\(α+β=b、αβ=ac\)で因数分解すると、

\(=\frac{1}{a}(A+α)(A+β)\)

\(=\frac{(ax+α)(ax+β)}{a}\)

必要があれば約分する

3乗・3元の公式

  • ①\((a±b)^{n}\)

ⅰ.\(n=2\) \((a+b)(a+b)\)

図4 (a+b)の2乗 組み合わせ

図5 (a+b)の2乗 考え方(グラフ)

 

ⅱ.\(n=3\) \((a+b)(a+b)(a+b)\)

図6 (a+b)の3乗 組み合わせ

図7 (a+b)の3乗 考え方(グラフ)

\(∴(a±b)^{3}=a^{3}±3a^{2}b+3ab^{2}±b^{3}\)

\(a\)について降べき、\(b\)について昇べきの順に並べる

\((-b)\)の時は奇数乗の項に-(マイナス)がつく

 

【パスカルの三角形】

図8 パスカルの三角形

\(\sum ^{n}_{k=1}{}_k C_1 = {}_{n+1} C_2 = \frac{n(n+1)}{2}\)

\({}_n C_k + {}_n C_{k+1} ={}_{n+1} C_{k+1}\)

 

\((a+b)^{n}={}_n C_0 a^{n}b^{0} + {}_n C_1 a^{n-1}b^{1} + {}_n C_2 a^{n-2}b^{2} + … + {}_n C_{n-1} a^{1}b^{n-1} + {}_n C_n a^{0}b^{n}\)

・\(a^{n-k}b^{k}\)の係数 :\({}_n C_k \)

・\((a+b)^{n} = \sum ^{n}_{k=0} {}_n C_k a^{n-k}b^k\)

cf.)\(\prod ^{n}_{k=1} ak = a_{1}\times a_{2}\times … \times a_{n-1}\times a_{n}\)

 

Ex.\((a+b)^3 = a^3 -3a^{2}b +3ab^{b} -b^{3}\)の証明

\(a^3 -3a^{2}b +3ab^{2} -b^{3}\)

\(=a^3 -a^{2}b-2a^{2}b+2ab^{2}+ab^{2}-b^{3}\)

\(=a^{2}(a-b)-2ab(a-b)+b^{2}(a-b)\)

\(=(a-b)(a^{2}-2ab+b^{2})\)

\(=(a-b)(a-b)^2\)…\(n=2\)の公式を参照

\(=(a-b)^3\)

  • ②\(a^3±b^3=(a±b)(a^2∓ab+b^2)\)

Ex. \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)の証明

\(a^3-b^3=a^3-a^{2}b+a^{2}b-ab^{2}+ab^{2}-b^{3}\)

\(=a^{2}(a-b)+ab(a-b)+b^{2}(a-b)\)

\(=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)

 

  • ③\((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\)
\((a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+bc+cd+da+ac+bd)\)

→各々の2乗と積の2倍

  • ④\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)

1文字整理の因数分解

【解法の手順】

step1:最小次数の文字について降べきの順に整理
step2:定数にあたる部分を因数分解
step3:共通因数を見つけるor置換する
step4:公式の形にする

 

  • Ex.
\(x^3-xy^2+xy+y^2-x-y\)

… \(x\)の次数は3次、\(y\)の次数は2次 →\(y\)で整理

\(=-(x-1)y^2+(x-1)y+x^3-x\)

因数分解できないか考える

\(=-(x-1)y^2+(x-1)y+x(x^2-1)\)

\(=-(x-1)y^2+(x-1)y+x(x+1)(x-1)\)

\(=-(x-1)[y^2-y-x(x+1)]\)

たすき掛けを使う

\(=-(x-1)(y+x)(y-x-1)\)

\(=(x-1)(x+y)(x-y+1)\)

図9 1文字整理の因数分解 Ex.

因数定理

剰余の関係

  • Ex.
\(17\div5=3…2\)

→\(17-5-5-5=2\)…17から5が3回引けて2が余る。

\(∴17=5\times3+2\)

これを一般化すると、

\(N \div P = Q…R ⇔ N = PQ +R 但し (0 ≦ ) R < P\) \(N≡R (modP)\)

多項式の除法

  • Ex.
\(f\left( x\right)=x^2+2x+3\) \(f\left( -1\right)=(-1)^2+2・(-1)+3=2…x=1を代入\)

同様に、

\(N\left( x\right) \div P\left( x\right) =Q\left( x\right)…R\left( x\right)⇔P\left( x\right)・Q\left( x\right) + R\left( x\right)\)

但し、\(0≦P\left( x\right)の次数<R\left( x\right)の次数\)

\(P\left( x\right)\)が1次式⇨\(R\left( x\right)\)は0次式となる。(0次式は定数となる。)

 

  • ①筆算

Ex.\((x^3-3x+4)\div(x^2+2x-5)\)

図 10 多項式の除法(筆算)

\(∴(x^3-3x+4)\div(x^2+2x-5)=x-2…6x-6\)

 

  • ②組立除法(1次)

【解法の手順】

step1:割られる式の係数を書く
step2:割る式=0 となるを右上に書く
step3:左端をそのまま降ろす
step4:右上に倍して上げる
step5:足す
step6:step4、5を繰り返す

 

Ex.\((x^2+5x+6)\div(x+2)\)

図 11 組立除法 Ex.

\(∴(x^2+5x+6)\div(x+2)=(x+3)\)

 

Ex2. \((3x^3-5x^2-11x-10)\div(3x+1)\)

図 12 組立除法 Ex2.

\(∴(3x^3-5x^2-11x-10)\div(3x+1)=(x^2-2x-3)…-7\)

 

  • ③組立除法(2次)

Ex.\((x^3+3x^2+x+2)\div(x^2+2x-3)\)

図 13 組立除法(2次)

\(∴(x^3+3x^2+x+2)\div(x^2+2x-3)=(x+1)…(2x+5)\)

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参考