この記事では、「 弁償算 」の解き方を学んでいきます。
読んで解き方を確認する、一緒に問題を解いてみる、どちらでも大丈夫なのでぜひ参考にしてみてください。
弁償算 とは
弁償算はつるかめ算と似ていて、つるかめ算の応用として紹介されることも多いです。
解き方もつるかめ算とほとんど同じなので、つるかめ算をマスターすれば弁償算も解けるようになると思います。
（つるかめ算について学びたい方はこちらの記事がオススメです。）
それでは、問題を見ていきましょう。
（例題1）A君はガラスのコップを100個運びます。1個運ぶごとに報酬として10円もらいます。しかし、コップを割ってしまうと1個につき70円弁償します。A君はコップを運び終え、760円もらいました。全部で何個のコップを割ったでしょうか。
ここからはこの例題を解きながら、弁償算の解き方について学習していきます。
弁償算 の解き方
はじめに、これからの解説をまとめた図を載せておきます。
これだけ見てもわからないと思うのですが、文章だけの説明でわからなくなったら戻ってきてみてください。簡単なメモ代わりです。
さて、例題を解く前に、まずはつるかめ算の解き方を思い出してみてください。
つるかめ算では、まず与えられた頭数が全てつるだと考えて、そこから一匹ずつかめにおきかえて考えるのでした。
ここでも同じようにまず、「すべてのコップを割らずに運べた」と考えてみましょう。するとA君は何円もらえるでしょうか。\(10\times100=1000\)（円）ですね。
しかし、実際には\(760\)円しかもらえていません。つまり、いくつかコップを落としてしまい弁償したということです。
そこで、つるかめ算のように\(1\)個をおきかえてみましょう。つまり、コップを\(1\)個割ってしまったと考えます。
このコップは運べていないので、報酬の\(10\)円はもらえません。おまけに\(70\)円弁償する必要があります。つまり、すべて運べた時と比べて\(80\)円だけもらえるお金が少なくなるということです。
コップを\(1\)個割り、\(99\)個を運ぶと\(80\)円だけもらえるお金が少なくなるということが分かりました。では、何個を割るともらえるお金が\(760\)円になるでしょうか。
\(760\)円ということは\(100\)個全て運べた時と比べると、\(240\)円だけもらえているお金が少ないですね。（\(1000－760＝240\)） \(1\)個割るごとに\(80\)円もらえるお金が少なくなるので、\(240\div80=\)\(3\)（個）割ったということが分かります。 これが弁償算の基本的な解き方です。＜例題1：解答）＞
\(3\)個＜例題1：別解＞
今はすべてのコップを割らずに運べたと考えましたが、もちろん全てを割ってしまったとして考えることもできます。
全てを割ってしまうと、A君は\(70\times100=7000\)（円）弁償しなくてはなりません。ここから\(1\)個を置き換えてみましょう。
\(1\)個運べて、\(99\)個割ったときはどうなるでしょうか。報酬が\(10\)円もらえて、\(70\)円弁償しなくてよいので、\(80\)円弁償する金額が減ります。つまり弁償額は\(6920\)円となります。（\(7000－80＝6920\)）
実際には、\(760\)円もらっているので、すべて割ったときとの差は\(7760\)円です。（\(760－（－7000）＝7760\)）
よって、\(7760\div80=97\)（個）だけ運べた、ということが分かります。つまり、\(3\)個だけ割ったということですね。
このように、弁償算はどちらに合わせても解けるので、好きなほうに合わせて解きましょう。この問題では、コップを割りすぎてしまうとお金をもらえず、弁償しなくてはならなくなりそうですね。（報酬としてもらうお金＜弁償代）
それを踏まえて、次の問題を解いてみましょう。
例題2
（例題2）例題1の条件でA君は何個以上コップを割るとお金がもらえず、弁償しなくてはいけないでしょうか。
（例題1：A君はガラスのコップを100個運びます。1個運ぶごとに報酬として10円もらいます。しかし、コップを割ってしまうと1個につき70円弁償します。A君はコップを運び終え、760円もらいました。全部で何個のコップを割ったでしょうか。）
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解答はこの下
↓
＜例題2：解答＞
\(13\)個以上＜例題2：解説＞
先ほど考えたように、すべてのコップを運べたときは\(1000\)円もらえ、\(1\)個割るごとに\(80\)円もらえるお金が減ります。
\(1000\div80=12\)⋅⋅⋅\(40\)（\(12\)、あまり\(40\)）なので、\(12\)個割ると\(40\)円もらえます。
つまり、\(13\)個割ると\(40\)円の弁償です。\(13\)個以上割ると、どんどん弁償額が増えていきますね。よって、答えは\(13\)個以上となります。
もう1問解いてみましょう。
例題3
（例題3）数学の問題が10問あります。1問正解するごとに10点もらえますが、1問間違えるごとに3点引かれます。B君は9点でした。B君は何問正解できたでしょうか。
この問題は例題1（コップの問題）が解ければわかると思うので、ぜひ考えてみてください。
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解答はこの下
↓
＜例題3：解答＞
\(3\)問＜例題3：解説＞
解説をまとめたものがこちら↓
先ほどと同じように、まずは全て正解したと考えましょう。すると、\(10\times10=100\)（点）となります。
「\(1\)問正解するごとに\(10\)点もらえる」ということは、「\(1\)問正解から不正解にすると、\(10\)点引かれる」ということです。
「\(1\)問間違えるごとに3点引かれる」はそのままなので、全部正解のときから\(1\)問不正解を増やしていく度に、\(13（10＋3）\)点引かれるということがわかります。
例えば、\(1\)問間違えて\(9\)問正解したとすると、\(13\)点引かれて\(87\)点となります。
これがわかったら、あとはB君が何点引かれたか考えればいいですね。
B君の得点は\(9\)点なので、\(100–9=91\)（点）引かれています。そのため、\(91\div13=7\)（問）間違えたとわかります。
問題は全部で\(10\)問なので、B君は\(3\)問正解したということが分かります。
検算すると、\(10\times3－3\times7=9\)（点）で一致します。
弁償算 の解き方のまとめ
これまで使ってきた弁償算の解き方をまとめると、以下のようになります。
- すべてどちらか一方だったと仮定する
（コップを全て運んだときは、〇円だ） - 1つ置き換えてみて、変化を調べる
（コップを1個割ったときは、□円引かれるな） - 問題で与えられた数にするために、何回変化させればいいか計算する
（△円にするには、何回コップを割れば（□円引けば）いい）
実は、これはつるかめ算の解き方とまったく同じです。
弁償算もつるかめ算同様面積図で解くこともできますが、つるかめ算とは少し違う図を書く必要があります。
また、問題を解くのが図を書く作業になってしまい、本質を理解しにくいので、この記事では面積図を使わない解き方のみをご紹介しています。
弁償算 の応用
応用問題として、少し難しい問題を解いてみましょう。
（応用例題1）じゃんけんをして負けたら階段を3段下り、あいこなら1段上がり、勝ったら5段上がるというゲームをC君とD君の2人でしました。15回じゃんけんをしたところC君は最初の位置から31段だけ上にいました。C君は何回勝ったでしょう。またD君は最初の位置よりも何段上または下にいるでしょう。ただし、C君のあいこの回数は負けた回数よりも2回だけ多かったです。
問題は難しくなりましたが、先ほど紹介した\(3\)ステップの解き方で解けます。 自分で解いてみたいという方は、ここで止めて解いてみてくださいね。
↓
解答はこの下
↓
＜応用問題：解答＞
- C君は\(5\)回勝った
- D君は最初の位置より\(1\)段下にいる
＜応用問題：解説＞
問題文が長くて複雑なので、\(1\)度整理してみましょう。
ここからは解き方に沿って解いていきます。
①すべてどちらか一方だったと仮定する
まず、C君がすべて勝ったと仮定してみましょう。
すると、最初の位置よりも\(5\times15=75\)（段）だけ上にいるはずです。
しかし、実際には\(31\)段だけしか上にいません。この差は\(75−31=44\)（段）です。
②1つ置き換えてみて変化を調べる
勝ちを負けにおきかえると、\(8\)段だけ下がります。勝ちをあいこにおきかえると、\(4\)段だけ下がります（上の図参照）。
ここで、負けとあいこの関係に注目しましょう。問題文に、「C君の負けた回数はあいこの回数よりも\(2\)回だけ多かった」とあります。ここから、C君は少なくとも\(2\)回はあいこになっていることが分かります。
では、\(2\)回だけあいこで、あと\(13\)回は勝ったとすると、C君はどこにいるでしょうか。
勝ち\(2\)回をあいこ\(2\)回におきかえるので、\(4\times2=8\)（段）だけ下がります。つまり、\(75−8=67\)（段）だけ上にいます。まだ問題文の\(31\)段よりも多いですね。
ここで勝ちをもう一回あいこにおきかえたいのですが、「C君の負けた回数はあいこの回数よりも\(2\)回だけ多かった」とあるので、あいこを\(1\)回増やすと、負けも\(1\)回増やす必要があります。
つまり、あいこ\(3\)回と負け\(1\)回にします。すると\(8+4=12\)（段）下がり、\(67−12=55\)（段）だけ最初の位置よりも上にいます。
あとは、勝ち\(2\)回を「あいこ\(1\)回＋負け\(1\)回」に置き換えていけば良さそうです。この操作を一度すると、\(12\)段下がります。
これで変化がわかったので、あとは問題で与えられた数を求めるだけです。
③問題で与えられた数にするために、何回変化させればいいか計算する
「勝ち\(2\)回を『あいこ\(1\)回＋負け\(1\)回』に置き換えると、\(12\)段下がる」ということがわかっています。
問題では「C君は最初の位置から\(31\)段だけ上にいました」とあるので、\(31\)にするために何回変化させればいいか計算しましょう。
あいこ\(3\)回のとき（あいこ\(3\)、負け\(1\)、勝ち\(11\)）のときは\(55\)段だったので、\(55−31=24\)（段）だけ上にいます。
\(24\div12=2\)より、勝ち\(2\)回を「あいこ\(1\)回＋負け\(1\)回」にする操作を、あと\(2\)回すれば良いと分かります。これを計算すると、あいこ\(5\)回、負け\(3\)回、勝ち\(7\)回となります。検算をすると、たしかに\(5\times7+1\times5−3\times3=31\)段となります。
もし上手く理解できなかった人がいたら、こちらの表を参考にしてもう一度解いてみてください。
ここまで分かれば、D君の位置を求めるのはおまけみたいなものですね。
D君の勝敗はC君の逆、つまりあいこ\(5\)回、勝ち\(3\)回、負け\(7\)回です。
D君が何段移動したか計算すると、\(1\times5+5\times3−3\times7=−1\)（段）となります。つまり、最初の位置よりも\(1\)段だけ下にいることが分かります。
最後に
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