高校入試でも定期テストでも頻出の[平面図形]-その基礎をわかりやすく解説します!

この記事では、これから平面や立体などの図形を扱っていく上で、前提となってくるような用語や知識について確認していきたい

「これから図形の問題を1から取り組もう!」と考えている方は特に読んで欲しいところだ。

前置きが多くなってもつまらない。さっそく本題に入っていこう。

平面図形

交点

線と線、または、線と面が交わり合う点のことを交点という。

直線、半直線、線分

今、日常的に直線と呼ばれているものは、図形の世界では3つに分けることができる。直線半直線線分である。

直線とは、下図のように点A,Bの両側に際限なく伸び続けている真っ直ぐな線のことを言う。この線は直線AB(BA)と表すことができる。

半直線とは、下図のように、点A,Bのどちらか(下図の場合はAに伸びている)に伸びていて、もう一方は止まっている真っ直ぐな線のことを指す。

この線は半直線BAと表すことができる。

ここで注意したいのは、半直線は伸びている片方を表記の後ろにしなければならないというルールがあることだ。

下図はAに伸びているため、半直線BAとなり、半直線ABとは書いてはいけない。

最後に、線分とは、下図のように、AとBの間を結んだ真っ直ぐな線で、どちらの点も外側には伸びていない。

この線は線分AB(BA)と表すことができる。

次に、角について話していく。日常生活を送っている中でも角度という言葉はしばしば耳にすると思う。これは直線とは違い、そのままの感覚が通用する。日常生活でよく聞く角度、それはどれだけ傾いているかを考えていると思う。図形もそれと同じで、線がどれだけ傾いているか、面がどれだけ傾いているか、それを考えているのだ。

では具体的に見ていこう。

下図のように二つの直線が交わっているとする。角度を表すには記号を使う。それが、である。
これをつかって、角は大きく2つの方法で表すことができる。

下図のように、∠ABC(CBA)∠Bである。

∠ABC(CBA)の読み方は、角ABC。これはしりたい角度が真ん中にくるように、他の文字で挟んでいる。

そのため、ABCでもCBAでもしりたい角度はBのところで、それをAとCで挟んでいるため、どちらでもいいのだ。

∠Bの読み方は角B。これはBにある角度が明らかに一つしかないときに使える、いわば略語のようなものである。

下図のようにBを挟んでいるのはAとCしかない。そのため、∠ABC(CBA)とかかなくても良いという話なわけだ。

しかし、それも下図のような時は通用しない。下図ではBにはいくつかの角度が存在している。

そのため∠Bといってもどれを指しているのかわからない。

ゆえに、この時は前者のようにかかなければならない、というルールが存在する。

角の二等分線

角の二等分線とはある角度を二等分する直線のことを指す。

角の二等分線は二つの直線から等距離にある点の集まりでもある。

垂直・垂線

二つの直線同士、または直線と面、面同士が直行している関係のこと垂直という。

このとき、垂直な線のことを垂線といい、垂直に交わるもう一方の直線を垂線に対し、法線と呼ぶ。

平行

一生交わることのない直線同士、または面と直線、面同士の関係を平行という。

円・円周

平面において、中心の点から等距離にある点を集めた曲線のことをと呼ぶ。

中心から円上の点までの距離を半径と呼び、中心を通るように円上の点を繋いだ距離を直径と呼ぶ。

また、この円の周りの長さを円周と呼ぶ。

弧・弦

円を円上にある二点を繋ぐ短い方の円周をと呼ぶ。

また、その点同士を結んだ線分をと呼ぶ。

扇形・中心角

二つの半径と弧によって囲まれた図形を扇形と呼ぶ。

また、この二つ半径のなす角度を中心角と呼ぶ。

円の接線

円に対して、ただ一点で交わるような直線を接線と呼ぶ。

そしてその交点を接点と呼ぶ。中心から接点を結んだ線分は接線と垂直な関係にある。

円周率

円の直径とその円の円周との比を円周率という。

円周率は小学生の時は3.14とし実際に数字として計算したが、中学校からは\(\pi\)と書き、パイと呼ぶ。

これは、計算時は文字と同じように処理することができる。

対称な図形

対称、これもちょくちょく日常生活で聞くのではないだろうか?

例えば、「あの建物は左右対称だよね?」とか。

漫画のようにかっこよく言えば、「シンメトリーだよね?」と。

これの言っていることを紐解くと、真ん中でパッかーんと割って、割ったものを合わせてみると、ぴったり合わせることができるようなものというわけだ。

この本質は図形のお話なのだ。

線対称

線対称、これが上で挙げたように、日常生活で言われる左右対称というやつだ。

ひとつの直線を折り目として、折った時綺麗に重なる図形を、線対称、または、直線について対称であるという。

この時の直線を対称の軸と呼ぶ。

点対称

点対称、これは線対称ほど身近に感じられるようなものではないかもしれない。

それでも、一度は絶対に見たことがあるようなものだと思う。

点対称とは、ある点を中心にして、180度ぐるっと回すと、回す前と同じ場所に収まりますよという代物だ。

こう言った図形を点対称、または、点について対称であるといい、その点のことを対象の中心と呼ぶ。

図形の移動

図形の移動。これは大きく3つに分けられる。

教科書ではしばしば、図形の形や大きさを変えることなく、位置を変えることだと言われてる。

おっと、あまり構えないで欲しい。そんなに難しいことを言っているわけじゃないだ。

三角形なり、四角形なりの図形があるだろう?それをすすすっと横なり、斜めなり、縦なりにスライドすることを言ってるだけだ。

そのスライドさせる方法によって分けることができると言ってるだけなんだよ。それらは、平行移動、回転移動、対象移動と呼ばれている。

平行移動

これは他の移動よりも一番簡単である。

下図のようにAが上を向いていて、Bが左、Cが右の向いているだろう?そのまま向いているのを変えずに、正直にスライドさせてあげる。

これが平行移動と呼ばれるものだ。

回転移動

読んで字の如くとはまさにこのこと。

回転して、移動するわけだ。下図のように、三角形ABCをある点を中心にして、ぐるっと回してあげただけなのだ。

対称移動

先ほど対称の図形のところで線対称というのが出てきたのを覚えているだろうか?

この移動はそこで出てきた対称の軸のようなものを使ってるだけなのだ。

どういうことか、まあ例にならって下図を見よう。

三角形ABCがある。そして対象の軸を用意する。この三角形を対称の軸を中心にして、逆側にぐるっと回してあげる。

それが対称移動だ。

回転移動は点対称的な考え、対称移動は線対称的な考えというわけだ。

図形の作図

作図とはなんぞや?

作図とはあるルールに則って、正確な図を書きましょうというものだ。

そのルールのことを作法という。ほんほん、いや待てや、作法とはなんぞや?となるのが普通だろう。

それでは作法を説明していく。説明していくと言ってもそんな仰々しいものではない。

作法とは具体的には、

  • 作図には定規とコンパスしか使えない。(鉛筆も使えんのか?シャーペンは?ボールペンは?っていうツッコミはなしの方向で。なかったら書けんがな!)
  • 定規はあくまで直線をひくためのもので、具体的に何cmか測ることはできない。
  • コンパスを使うことで、図にある直線の長さを得ることはできる。ただし、これも具体的に何cmか測ることはできない。

この3つが挙げられる。

つまりはコンパスで印をつけて、そこを定規を使って結ぶことしかできないわけだ。

そんなルール(というか制約といった方がいいかもしれないが)を使って、図を書いていく。

一見何もかけないように思えるかもしれない。

しかし、実際はそんなことはなく、今まで書いていた図形ってなんだったの?と思えるようになることでしょう。

御託はこの辺りにして、具体的な話をしていきましょうか。

まずは肩慣らしに小学校で学んだような、正三角形、ひし形の作図をしていこう。

正三角形の作図

  1. 書かれている線分ABの長さを、コンパスを使って測る。
  2. 点Aにコンパスの針を刺し、ぐるっと曲線を描く。
  3. 点Bにコンパスの針を刺し、ぐるっと曲線を描く。
  4. 曲線同士の交点へと点Aと点Bから線を引く。そうすると正三角形が出来上がるわけだ。

しかし、言ってることは単純。

同じ長さのものを3つつなげる。そりゃあ、正三角形になるわなってことです。

ひし形の作図

  1. 点Aと点Bとの距離に対して十分に大きくコンパスを広げる。
  2. 点Aにコンパスの針を刺して、ぐるっと回す。
  3. 点Bにコンパスの針を刺して、ぐるっと回す。
  4. 得られたこの2つの交点を点Aと点Bから線を引く。そうするとひし形ができているわけです。

これも正三角形同様、言っていることは簡単。

同じ長さの直線を4つ繋いだらそりゃあひし形になるよね?ってことです。

ここまでの二つから分かったように、作図は何も適当にコンパスをぐるっと回して、定規が適当にぴーって線を引けばいいわけではない。

そこには確固たる理屈があるんです。

正三角形なら3辺の長さが同じ、ひし形なら4辺の長さが同じ、というように自身が書きたい図形にはどんな性質があるのか、それを理解して作図をしてあげれば、作図以外の分野でも通用するような考え方を培うことができるだろう。

では、本題に入っていく。

ここでは、中学の作図で主に扱われる、垂直二等分線、角の二等分線、垂線、平行線、円の接線、有名角の作図を扱っていく。

他にも相似な図形や正五角形を描けたりします(作図の初学レベルを超えてるため、今回は執筆しないものとする)。

それではやっていこう。

垂直二等分線の作図

垂直二等分線とは何か?

それは線分を二等分して、その線分とは垂直の関係にある直線のことを指す。

ということは、線分の中点を通ってなくてはだめだ。

また、これが大事になるのだが、線分の端からの距離が等しくなっていればいい

そこを意識した上で描く手順を見ていこうか。

  1. 点AまたはBから線分ABの中点までの距離に足して、十分長い距離をコンパスでとる。
  2. それを点Aにコンパスの針を刺して、コンパスをぐるっと回す。
  3. そのままの長さで点Bにコンパスの針を刺して、コンパスをぐるっと回す。
  4. その交点同士を通るように直線をひく。
  5. そうすると垂直二等分線が出来上がるというわけだ。

さきで話したように、垂直二等分線は点Aと点Bからの距離が等しい直線というのがミソだ

だからこそ、同じ大きさのコンパスを点Aと点Bから書いたわけだ。

察しのいい人は気づいたかもしれない。これはさきで挙げたひし形の作図の方法と途中までは同じなのだ。

これはひし形の対角線は垂直に交わるという性質も使っているのだ。

こんな具合に、ただコンパスをぐるぐる回しているだけではなく、確固たる理屈が存在していることがわかったはずだ。

他の作図も見ていこう。

角の二等分線の作図

角の二等分線とは何か?

それは、読んで字の如く角を等しくに分割する直線のことだ。

一つの角を二つに分けるような直線はどのようにかけばいいのか?
それがちょうど二等分になるにはどうすればいいのか?

その方法を実演しながら見ていく。

  1. 点Aにコンパスの針を刺してコンパスをぐるっと回し、二つの直線とそれぞれ交点を得る。
  2. 次はその交点にコンパスの針を刺してコンパスをぐるっと回す。
  3. もう一方の交点にも、コンパスの長さを変えることなく、コンパスの針を刺してコンパスをぐるっと回す。
  4. コンパスを回して書いた曲線同士の交点と点Aを結ぶ直線を書く。それが角Aの角の二等分線になる。

これも垂直二等分線と同様に、ひし形を利用した作図である。

ひし形の対角線はその角を二等分する性質がある。だから、点Aを頂点の一つとするひし形を書くことで角の二等分線を書くことができるという寸法である。

また、角の二等分線は二つの直線から等距離にある点の集まりという言い換えをすることもできる。

そのため、点Aから等距離にある二つの直線上にある点を二つ用意し、その点での垂線をそれぞれ書いて出た交点を点Aと繋げることで角の二等分線とすることもできる。

これは合同な三角形を二つ書いてあげるという理屈だ。

垂線の作図

垂線とはなにか?

ある直線に対して垂直に交わる直線のことである。

これは言葉どうりのものであるため、すぐに手順を見ていく。

  1. 点Aに適当な大きさをとったコンパスの針を刺して、コンパスをぐるっと回し、直線とコンパスで書いた曲線との交点を二つ得る。
  2. その交点の一つにコンパスの針を刺し、コンパスをぐるっと回す。
  3. もう一方の交点にもコンパスの針を刺し、コンパスをぐるっと回す。
  4. その曲線同士の交点を結ぶ直線を書く。そうすると、その直線が、その直線に対しての垂線となる。

垂直二等分線の書き方は知っている。ならその垂直の性質を使いまわそう、という理屈だ。

垂直二等分線を書くには線分の端の点が必要だった。

今回はそれを作り出し、かつ指定した点を通る垂線を引きたかったため、指定した点を中点とした線分を作る必要があった

だから、指定した点を中心に円を書いたのだ。そのあとは垂直二等分線と同じ要領で行えば良い。

平行線の作図

平行線とは何か?

それは一定の距離を保った直線同士のことである。

つまりは、直線上のどの点をとってもそこからの他の直線への距離が等しくあり続けるというわけだ。

今回はそこに着目して書いていく。

  1. 点Aに、十分の大きさをとったコンパスの針を刺し、コンパスをぐるっと回し、その曲線と直線との交点を二つ得る。
  2. 交点の一つに、コンパスの針を刺し、コンパスをぐるっと回す。
  3. もう一方の交点にも、コンパスの針を刺し、コンパスをぐるっと回す。
  4. それらの曲線の交点同士を直線で結ぶ。これは下の直線に対しての垂線となる。
  5. 今度は点Aにコンパスの針を刺し、コンパスをぐるっと回し、垂線との交点を二つ得る。
  6. その交点の一つに、コンパスの針を刺し、コンパスをぐるっと回す。
  7. もう一方の交点の一つに、コンパスの針を刺し、コンパスをぐるっと回す。
  8. それらの曲線の交点同士を直線で結ぶ。この直線が下の直線の平行線になる。

先にも挙げたように、平行線とは距離が等しくあり続ける直線である。

であれば、ある線に対して垂直な線が複数あれば、その複数の直線は全て平行になるという理屈だ。

もっと簡単にいえば、垂線を二回書いたら平行線になる、それだけだ。

また、これ以外にもひし形を使った作図の方法もある。ひし形の対辺は必ず平行であるという理屈を使ったものだ。

円の接線の作図

円の接線とは何か?

円に対して接する接線のことである。言い方を変えれば、接線とは、中心と接点を通る直線と垂直に交わる垂線のことである。

  1. 中心と点Aを結び、直線を書く。
  2. 点Aにコンパスの針を刺し、コンパスをぐるっと回し、直線との交点を二つ得る。
  3. この交点の一つにコンパスの針を刺し、コンパスをぐるっと回す。
  4. もう一方の点にもコンパスの針を刺し、コンパスをぐるっと回す。
  5. それらの曲線の交点同士を結ぶ直線を書く。それが円の接線となる。

先にも挙げたように、接線とは、中心と接点を通る直線と垂直に交わる垂線のことである。

そのため、簡単な話で、接点で垂線を書いてあげればいいだけの理屈だ。そのためほとんど垂線の手順と変わらないのだ。

有名角の作図

有名角とは何か?

有名角とは、30°、45°、60°のことを指す。
なぜこれが有名角とよばれるのか、詳しい話は今後三平方の定理というものを習ったときにでも学ぶといい。

今は、そんな角度があるんだ〜ぐらいで十分だ。

しかし、この角度は作図で書くことができますよってなっていて欲しいのだ。ではやっていこう。

30°・60°の作図

  1. 正三角形を書く。その角はすべて60°である。
  2. 正三角形の角を二等分する。その二等分された角は30°である。

45°の作図

  1. 直角を書く。
  2. その直角を二等分する。その二等分された角は45°である。

面積と長さ

基本公式の確認

ここではいろいろな図形の面積を求める公式を確認していく。

  • 三角形、四角形の面積の求め方
    • (三角形の面積)=(底辺)×(高さ)÷2
    • (四角形の面積)=(底辺)×(高さ)
  • 長方形の面積の求め方
    • (長方形の面積)=(たて)×(よこ)
  • 平行四辺形の面積の求め方
    • (平行四辺形の面積)=(底辺)×(高さ)
  • ひし形の面積の求め方
    • (ひし形の面積)=(対角線)×(対角線)÷2

円の面積と周りの長さ

  • 円の面積
    三角形や四角形のように円にも面積を求めるための公式が存在している。それを確認していく。
    • (円の面積)=(半径)×(半径)×(円周率)
  • 円の周りの長さ
    面積同様に、円の周りの長さを求めることができる公式が存在している。それを確認していく。
    • (円周)=(直角)×(円周率)

おうぎ形の面積と弧の長さ

  • おうぎ形の面積
    おうぎ形は円を中心角分だけ小さくしたものだ。そこに注目した公式が存在している。それを確認していく。
  • おうぎ形の弧の長さ
    これも面積同様に、中心角分小さくなっていることに注目した公式が存在している。それを確認していく。

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参考