高校入試でも定期テストでも頻出の[空間図形]-その基礎をわかりやすく解説します!

いろいろな立体

柱体 

底面となる図形を垂直に平行移動したとき、その底面が通過した部分の立体のことを柱体とよぶ。

柱体の中でも、底面の形によって大別することができる。

底面が多角形の場合、その柱体を角柱と呼び、底面が円の場合、その柱体を円柱と呼ぶ。

角柱の中でも、底面が三角形の場合は三角柱、底面が四角形の場合は四角柱と呼び、底面の形によって名前を変えたりする。 

また、底面といっても、底の面だけを指すのではなく、底にある面と反対側にある面のことも底面と呼ぶ。一方で、底面でない部分を側面と呼ぶ。 

すい体

簡単に言ってしまえば、先が尖っている立体のことをすい体という。

すい体の中でも、柱体と同じように底面によって名称が変わっていく。

まず、底面が多角形の場合、これを角錐と呼ぶ。底面が円の場合、これを円錐と呼ぶ。また、これも柱体と同じように角錐の中でも底面が三角形の場合は三角錐、四角形の場合は四角錐というように底面の形によって名前を変える。 

多面体 

平面だけで囲まれた図形のことを多面体と呼ぶ。しかし、円柱や円錐は多面体とは呼ばない。多角形で囲まれているイメージを持っていれば大丈夫だ。 

そんな多面体の中には、正多面体というものが存在する。平面図形でいう、正三角形や正五角形と同じように、一種類の正何角形だけで囲まれている多面体のことを正多面体と呼ぶのだ。 

しかし、この正多面体、実は五種類しか存在しない。その五つとは、正四面体、正六面体(立方体)、正八面体、正十二面体、正二十面体である。それぞれについて軽く説明していく。 

  • 正四面体
    •  4
    • 頂点 4
    • 辺 6
  • 正六面体(立方体)

    •  6
    • 頂点 8
    • 辺 12
  • 正八面体

    •  8
    • 頂点 6
    • 辺 12
  • 正十二面体

    •  12
    • 頂点 20
    • 辺 30
  • 正二十面体

    •  20
    • 頂点 12
    • 辺 30 

こんなの覚えるの面倒だよとやっぱり思いますよね?私も最初はそう思いました。

しかし、多面体の面、頂点、辺なんて覚える必要なんてないのです。その多面体をかけるようになればいいのです。そうすればあとは数えればいいだけなのです。

しかし、それでも正二十面体とかになると辺の数を数えることは面倒だし、なにか間違えそうですよね?

そこでこんな公式があるのです。 

(面の数)+(頂点の数)−(辺の数)=2 

これはオイラーの多面体定理と呼ばれるものです。この定理は多面体であれば必ず成り立つ定理です。

これの何が便利かというと、面の数、頂点の数、辺の数のうち二つわかればあとは数える必要はなく、計算で出すことができるということです。

これで正二十面体の辺のように30本の辺を数える必要がなくなったのです。  

空間における平面と直線

平面の決定

平面は、際限なく広がった平らな面である。空間においても、2点A、Bが与えられるとそれらを通る直線ABがただ1つに決まる。しかし、2点A、Bを含む平面はいくつでも存在して、ただ1つには決まらない。 

空間における平面は、2点A、Bのほかに直線AB上にない点Cが与えられると、それはただ1つに決まるのだ。そのため、このようなことが言える。 

同じ直線上にない3点を含む平面はただ1つである。 

平面は記号をつけて、平面Pなどと表したりする。そのほかには3点A、B、Cを含む平面を、平面ABCと言ったりする。 

2直線の位置関係

空間においても、1つの平面上にある異なる2直線は、1点で交わるか平行である。

下図のように、2直線AB、AEは1点Aで交わる。また、2直線AB、DCは平行である。このとき、辺ABとDCも平行である。2直線ABとCGを含むような平面は存在しない。

また、この2直線は、平行でもないし、無論交わることもない。このような2直線をねじれの位置にあるという。 

このとき、辺ABとCGもねじれの位置にあるといえる。空間における2直線が交わらないとき、それらは平行かねじれの位置にあるというわけだ。軽くまとめると以下のようになる。 

[2直線の位置関係]

  • 1点で交わる→2直線は同じ平面にある。
  • 平行である2直線は同じ平面にある。   
  • ねじれの位置にある2直線は同じ平面にない。

直線と平面の位置関係

 空間のおける直線と平面の位置関係には次のような3つの場合がある。 

  1. 直線が平面に含まれる。
  2. 1点で交わる。
  3. 交わらない。 

直線と平面が交わらないとき、直線と平面は平行であるといえ、

(直線)∥(平面)

と表す。

また、直線が平面と直線との交点を通る直線すべてと垂直であるとき、直線と平面は垂直であるといい、

(直線)⊥(平面)

と表す。その直線のことを垂線と呼ぶ。 

これらから次のようなことがいえる。 

平面と直線が交点をもつとき、
直線がその交点を通る平面上の2
直線に垂直ならば、直線と平面は垂直である  

2平面の位置関係

異なる2平面P、Qの位置関係には、次の2つの場合がある。 

  1. 交わる。
  2. 交わらない。 

2平面P、Qが交わらないとき、PとQは平行であるといい、

P∥Q

と表す。

2平面が交わる時、その交わりに1つの直線ができる。これを2平面の交線という。

下図のように、平行な2平面P、Qに別の平面Rが交わるとき、2本の交線l、mは平面R上にあって交わることがない。交わることがないということは、さきにも述べたようなことができるわけだ。 

平行な2平面に1つの平面が交わるとき、
2本の交線は平行である。 

2つの平面P、Qとその交線lについて考えてみる。Lに垂直なP、Q上の交わる2直線m、nについて、m⊥nのとき、PとQは垂直であるといえ、

P⊥Q

と表す。 

平行な2平面P、Qに対して、P上のどこに点Aをとっても、AとQの距離は一定である。この一定の距離を、平行な2平面P、Q間の距離という。

角柱や円柱において、2つの底面は平行である。この2平面間の距離が、角柱や円柱の高さである。 

立体のいろいろな見方

面が動いてできる立体

合同な多角形や円をたくさん作って重ねると、角柱や円柱ができる。スーパーに売っているロースハムのスライスでも想像してもらえれば簡単だろう。1枚、2枚、3枚と重ねていったらどんどん高くなっていくだろう?あれなわけさ。 

また、角柱や円柱は、底面がそれと垂直な方向に動いてできた立体と考えることもできる。動いた距離が立体の高さである。 

1辺1cmの正方形を、それと垂直な方向に1cmだけ動かした跡は、1辺が1cmの立方体と考えることができる。 

1つの平面図形を回転してできる立体について考えてみよう。
長方形や直角三角形を空間において、下図のように1つの辺の周りに1回転させた跡は、それぞれ円柱や円すいと考えることができる。

このとき、下図の辺ABのように、回転して円柱や円すいの側面になる辺を、円柱や円すいの母線という。 

一般に、1つの平面図形を、その平面上の直線lの周りに1回転させてできる立体を回転体といい、lを回転の軸という。 

立体の切断

回転体である円すいを、回転の軸を含むどのような平面で切っても、切り口は二等辺三角形になる。下図のように、直線lを回転の軸にする回転体を、lを含む平面で切った切り口は、lを対称の軸とする線対称な図形である。 

立体を1つの平面で切断すると、切り口にはいろいろな図形があらわれる。

例えば、下図のように、立方体ABCDEFGHの辺AD、辺CD上の点をそれぞれM、Nとしたとき、この立方体を、直線MNを含んだ平面で切ったものである。この切り口には、三角形、四角形、五角形、六角形のいずれかがあらわれる。 

多面体を1つの平面で切った切り口には、多面体の面上に辺を持つ多角形があらわれる。  

投影図

下図の見取り図のように表される円すいは、正面から見ると二等辺三角形に、真上から見ると円に、それぞれ見える。 

立体を正面から見た図を立面図、真上から見た図を平面図といい、立面図と平面図をまとめて、下図のように表したものを投影図という。

見取り図と同様に投影図でも、実際に見える線を実線で表し、見えない線は破線で表す。立面図と平面図に加えて、真横から立体を見た図を加えて、投影図を表すこともある。 

展開図

多面体を、その辺にそって切り開いて平面上に広げると、多面体の展開図を得ることができる。 

円柱と円すいの展開図についてまとめておく。 

円柱を、その母線の1つにABをさっくと切り開くと、下図のように分けることができる。円柱の展開図は底面となる2つの円と、側面となる長方形で表される。このとき、側面の長方形について次のようなことが言える。 

(側面の長方形の横の長さ)=(底面の円周の長さ) 

円すいを、その母線の1つABに沿って切り開くと、下図のような展開図が得られる。円錐の展開図は、底面となる円と、側面となるおうぎ形で表される。このとき、側面のおうぎ形について、次のことが言える。

(側面のおうぎ形の弧の長さ)=(底面の円周の長さ) 

立体の表面積と体積 

表面積 

立体の、すべての面の面積の和を表面積、1つの底面の面積を底面積、側面全体の面積を側面積という。 

いろいろな立体の表面積について考えていこう。 

例えば、下図のような正四角すい(底面の一辺のの長さを4cm、側面の長さを6cmとする)の表面積。

  • 底面積は、
    • (底面積)\(=4\times4=16(cm^{2})\)
  • 側面積は、
    • (側面積)\(=(4\times6\div2)\times4=48(cm^{2})\)
  • 表面積は、
    • (表面積)\(=16+48=64(cm^{2})\)

 となる。 

次は円柱について考えていく。底面の半径が4cm、高さが7cmの円柱の表面積。 

  • 底面積は
    • (底面積)\(=2\times4^2\times\pi=32\pi(cm^{2})\)
  • 側面積は
    • (側面積)\(=2\times4\times\pi\times7=56\pi(cm^{2})\)
  • 表面積は
    • (表面積)\(=2\times4^2\times\pi+2\times4\times7\times\pi=88\pi(cm^{2})\)

立体の表面積は、展開図で考えるとわかりやすいことが多い。 

最後に円すいの表面積について考えていく。底面の半径が4cmで、母船の長さが14cmである円すいの表面積。 

  • 底面積は
    • (底面積)\(=\pi\times4\times4=16\pi(cm^{2})\)
  • 側面積は
    • (側面積)\(=12\times8\times\pi\times14=56\pi(cm^{2})\)
  • 表面積は
    • (表面積)\(=16\pi+56\pi=72\pi(cm^{2})\)

また、下図のように、半径14cmの円と半径4cmの円の周りの長さの比は14:4=7:2。 

おうぎ形のこの長さと中心角の大きさは比例するから、側面となるおうぎ形の中心角の大きさは 

\(360°\times\frac{2}{7}=\frac{720}{7}^\circ\)

である。 

角柱と円柱の体積

直方体の体積は次の式で求めることができる。 

(直方体の体積)=(縦)×(横)×(高さ)

 この式は、直方体の体積をV、底面積をS、高さをhとすると、次のように表すことができる。 

\(V=Sh\)

三角柱、四角柱といった角柱の体積も、直方体と同じように、底面積と高さの積として求めることができる。 

したがって、角柱の体積について、次のことが成り立つ。 

\(V=Sh\)

このことから、底面積と高さがそれぞれ等しい角柱の体積は等しいことがわかる。 

円柱の体積も、角柱の体積と同じよううに、底面積と高さの積として求めることができる。したがって、円柱の体積について、次のことが成り立つ。 

\(V=\pi\times r^2\times h\) 

角すいと円すいの体積

下図の左は正三角すいで、下図の右は正三角すいと底面が合同で高さが同じ三角柱を平面で切ってできた三角すいである。 

このとき、左の正三角すいを底面に平行な平面で細かく切って板状にし、それらをずらしていくとできるようになるから、左と右の三角すいの体積は等しいといってよい。 

一般に、角すいについて、次のことが言える。 

底面積と高さがそれぞれ等しい角すいの体積は等しい 

三角柱は下図のように体積が等しい3つの三角すいに分けることができる。 

よって、この三角すいの体積はそれぞれ三角柱の体積を3でわることで出る。 

一般に、角すいの体積について、次のことが成り立つ。 

\(V=\frac{1}{3}Sh\)

次は円すいの体積の求め方について考えていこう。 

円すいを、下図のように、同じ形の立体に分けていく。 

この分け方をどんどん細かくしていくと、分けられた各立体は三角すいとみなすことができるようになるから、円すいの体積も、角すいの体積と同様に求めることができる。 

したがって、円すいの体積について、次のことが成り立つ。 

\(V=\frac{1}{3}\times\pi\times r^2\times h\)

球の表面積と体積

空間において、ある1点から等しい距離にある点の集まりは球面を表す。球面のことを単にともいう。球の表面積と体積については、次のことが成り立つ。 

半径がrの球の表面積をS、体積をVとすると
\(S=4\times\pi\times r^2\) \(V=\frac{4}{3}\times\pi\times r^3\)

いろいろな立体の体積

下図の直角三角形ABCを、辺ACを軸として回転させてできる立体の体積について考える。 

でき上がる立体は、底面を半径をBCとした円とする高さがACの円すいである。 

実際にBC=5cm、AC=3cmとすると、体積は 

\(V=\frac{1}{3}\times\pi\times5^2\times3=25\pi(cm^3)\)

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