平面図形をマスター!三角形の面積比~応用編その3~

中学受験を目指す中で、算数で思うように得点できない人の中には「図形問題が特に弱い」というタイプも多いと思います。

そういう人の中には「図形問題はひらめきがないと解けない」と思っている人もいるようですが、実際は「ひらめき=解法知識」です。図形の基礎となるパターンと、そこから派生した問題であるという結びつきを見つけることができれば、それが解くための突破口になります。

「基礎の形」とそこから派生した「よく見かける形」を解けるように訓練しておくことで得点力は上がります。

今回も「解けるようにしておきたいパターン」の問題を図入りで紹介・解説していきます。もう少し基礎から確認したい場合には先にこちらの記事をどうぞ↓

 

基礎からの結びつきを見つける

今日ご紹介する問題は、数学でいうと「チェバの定理、メネラウスの定理」で使う問題と変わりません。しかし、だからと言って定理を覚えていないと解けないのかというと、そうではありません。

これまでの「面積比の考え方の基礎」を理解してそこから考えれば、解けるようになる問題です。

そして数学の基礎になるのが算数です。算数として理解したことを、数学という学問でまたさらに広げて考えられるようになります。この先、学年が上がれば「基礎」となるレベルも上がるということは念頭に置いておきましょう。

今回の問題も、「小5の夏」の時期に見れば難問ですが、「中学受験をする小6の冬」の時期であれば基礎とは言わないまでも、典型題の中のひとつです。中学受験を目指すのであれば、小6の秋までには理解しておいてほしい内容です。

 

三角形の中で分割していく問題

「高さの等しい三角形の面積比は底辺の比に等しい」ということを理解していると、次のような問題が解けるようになります。

【問題】下の図のような三角形ABCがあります。辺BC上に点Dがあり、点Eは直線AD上の点です。このとき、三角形ABEと三角形AECの面積比を最も簡単な整数の比で求めましょう。

この問題の考え方を、次に2つご紹介します。

 

考え方その1:三角形から三角形を引く

三角形ABDと三角形ADCは「高さの等しい三角形」となっているので、面積比は底辺の長さの比と同じく2:3です。

また、三角形EBDと三角形EDCも「高さの等しい三角形」となっているので、面積比は底辺の長さの比と同じく2:3です。

「2:3」となっている図形から「2:3」の図形を引くと、残りも図形の比も2:3になります。

底辺から離れたように見える三角形同士でも、実は底辺の比と同じ比で求められるということがおわかりいただけましたでしょうか。

 

考え方その2:底辺をAEとして高さの比で考える

三角形ABEと三角形AECの底辺をAEとして考えてみましょう。底辺が同じ三角形であれば、高さの比が面積比に等しくなるはずですね。

では三角形ABEと三角形AECの高さがどのようになっているのかを考えていきます。

頂点Bと頂点Cから、直線AEを伸ばした線に対して垂直な直線を引くと、これが三角形ABEと三角形AECの高さになります。

このとき、今引いた2本の直線は、相似である三角形の1辺として考えることができ、この三角形の相似比は2:3です。

つまり、三角形ABEと三角形AECの高さの比も2:3になるので、面積比も2:3となります。

 

今やった問題を基礎としてその先の問題へ

先ほど紹介した問題ができるようになると、その問題を利用してさらに次のような問題が解けるようになります。数学をすでに経験しているとすぐに定理が浮かぶかもしれませんが、あくまでも定理を知らない小学生が解くための問題です。面積比を学習していれば小学生の解法知識で解けるように説明していきます。

【問題】下の図のような三角形ABCがあります。点Dは辺ABの中点で、点Eは辺BCを2:3に分ける点、点Fは辺CA上の点です。また、3本の直線AE、BG、CDは点Gで交わっています。このとき、AF:FCの長さの比を最も簡単な整数の比で求めましょう。

ちょっと複雑そうに見えるかもしれませんが、先ほどの問題と同じ考え方です。図の中から、先ほどと同じ形を取り出して考えましょう。辺BCを底辺にして見る場合と、底辺をABとして見る場合の2方向から考えます。

辺BCを底辺として見た場合、BE:ECは2:3なので、三角形ABGと三角形AGCの面積の比は2:3です。また、辺ABを底辺として見た場合、点Dは辺ABの中点なので、三角形AGCと三角形GBCの面積比は1:1です。

ここで、三角形AGC(黄色の三角形)はどちらを底辺とした場合にも考えに入っているので、この三角形の大きさをそろえて連比にします。

上のように連比を作ると、三角形ABGと三角形GBCの面積の比が2:3です。辺ACを底辺として考えた場合、三角形ABGと三角形GBCの面積の比がAF:FCに等しいので2:3です。

この問題ではこちらも知っておきましょう

先ほどと同じパターンの問題で、辺の比ではなくAG:GEを聞かれる場合も珍しくありません。こちらのパターンもぜひ知っておいてほしいと思います。

上の図のように「幅が同じ図形」として四角形ABGCと三角形GBCを比較します。四角形ABGCと三角形GBCの面積の比は、(2+3):3=5:3です。

このとき、「幅が等しい」ということは、底辺をAGとGEで見たときの高さの和が等しいということになるので、面積の比は底辺の比に等しくなります。つまり、AG:GE=5:3です。

 

まとめ

今回ご紹介したこのパターンの問題では、辺の比を聞かれるのと、この図形の中の直線の比を聞かれるのは同程度の問題としてどちらも出題されることが珍しくありません。どちらも答えられるようにしておきたいですね。

これまでの記事で、三角形の面積比としてよく出題されるパターンをいくつかご紹介しました。ちょっとずつ数値や向きが違うだけで、同じような問題は問題集や過去問でも多く見かけるはずです。「よく見かける問題=重要問題」ですので、早めに理解して得点できるように練習を積み重ねておくことが望ましいです。

(ライター:桂川)

<関連記事>

平面図形をマスター!三角形の面積比~応用編その1~

平面図形をマスター!三角形の面積比~応用編その2~

公式を図解!すい体の体積、円すいの表面積の求め方

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です