平面図形の苦手を解消!三角形の面積比~基本編~

算数に苦手意識があり、平面図形が特に苦手という人はまず基本の考え方から確認が必要です。平面図形はある程度の基本パターンを学習していないと、「考えても解法の糸口がわからない」という状態になりやすいためです。

平面図形が解ける生徒が言う「ひらめいた!」は「この問題、似たようなものを解いたことがある!(それを思い出した!)」という言葉に等しい意味合いです。全くの何も学んだことのない状態からひらめく人間はごく一部の天才でしょう。

三角形の辺の比と面積比の関係について、もっと基礎から確認したい人は先に「平面図形が苦手な人は必見!三角形の面積比と辺の比の関係~基礎編~」の記事をお読みください。また、今回の記事では三角形の相似についてはある程度の理解がある前提で記事を書いております。

身の回りのわかりやすい例から考えましょう

平面図形が苦手な人は必見!三角形の面積比と辺の比の関係~基礎編~」で説明したように、三角形の面積比は(底辺の比)×(高さの比)で求めます。

人によっては三角形だと納得しにくいかもしれませんが、例えば正方形であればノートのマス目などを見てわかりやすいと思います。

正方形であれば、一辺の長さが2倍になると面積が4倍になります。実際に面積を計算してもよいですし、マス目で数えてもわかりやすいですね。同様に考えて、一辺が3倍であれば面積は3×3=9倍、一辺が4倍であれば面積は4×4=16倍です。

三角形の場合でも、同じです。三角形は、四角形(この場合は正方形)を半分にしただけと考えて下の図を見てみましょう。

実際に三角形の面積を求めてもわかりますが、底辺と高さがどちらも2倍なので、正方形のときと同じように面積は2×2=4倍となります。

 

相似形の面積比の基本!

相似形であるとわかる条件が提示されている問題では、相似になっている三角形の3つの辺のうち、どこか1つでも比がわかれば面積比が計算できます。相似比は底辺の比であり、高さの比でもあるため、面積比は相似比の二乗で求められます。

下の図で、三角形アとイの2つの辺の長さがわかっていて、その2辺に挟まれた角が同じ大きさです。この条件から、三角形アとイは相似形です。相似比が2:3であれば、面積比は2×2:3×3=4:9になります。

この図では、底辺と斜めの辺の長さは出ていますが、実際の高さは求められません。しかし、相似形であることがわかっているので、底辺と斜めの辺の比が2:3、そして高さも2:3となります。この段階で納得がいかないという人は、まず相似の基本から確認する必要があります。

 

面積比の定番!台形を分割する

図形の中でさらに図形に分かれてくると面積比がわかりにくくなってしまう人もいます。例えば、台形を対角線によって4つの三角形に分割したときの面積比を考える問題があります。これは、「砂時計型」や「チョウチョ型」と呼ばれる相似形を利用する問題で、受験生にとっては割と定番の問題なのですが、パっとすぐに面積比を答えられない生徒もいるのです。

下の図で、四角形ABCDは辺ADと辺BCが平行な台形です。この台形ABCDを対角線によって、アイウエの4つの三角形に分割したときの面積比を考えます。この図の中で、アとウの三角形については相似比が12:20=3:5の相似形になります。対角線の交点をEとすると、DE:EB=AE:EC=3:5です。

アとウの三角形の面積比が、3×3:5×5=9:25になります。また、イとエの三角形については、ア:イ=ア:エ=3:5でアの面積が9なので、イとエの面積はどちらも15となります。

ア=3×3、イ=エ=3×5、ウ=5×5、というような考え方でも大丈夫です。

この問題ができるようになると、長方形や平行四辺形の中で三角形の相似を利用して面積比を求めるような問題ができるようになります。このパターンを利用する問題はしっかりと解けるようにしておきたいですね。

 

こちらも定番!三角形の中の三角形

同じく相似形を利用する問題の中で、もうひとつ定番なのが「ピラミッド型」などと呼ばれるタイプの図形です。

例えば下の図のように、三角形ABCがあります。辺BCに平行な直線DEを引き、三角形ADEと四角形(台形)DBCEの面積比を考えるというような問題があったとします。図の中で、大きい三角形(三角形ABC)と小さい三角形(三角形ADE)の2つの三角形があり、それが相似形であるとすぐ気づける人と、2つを取り出して見せてあげないと気づけない人がいます。

よくありがちな間違い方としては、AE:ECが2:1なので、面積比を2×2:1×1=4:1としてしまう人がいます。そういう間違い方をしてしまう人は、2つの三角形を並べて描いて考えてみてほしいです。

実際には、2つの三角形の相似比は、3:2になるはずです。したがって三角形ABCと三角形ADEの面積比は、3×3:2×2=9:4です。このとき、四角形DBCEは9-4=5となるので、三角形ADEと四角形DBCEの面積比は4:5となります。

 

比だけでなく分数も活用できるようにしましょう

もともと、比というもの自体が分数を横書きにしただけのようなものなので、比で解いても分数で解いてもあまり変わらないといえば変わらないのですが、「なんとなく分数だと難しそう」と受け取る人もいるようです。

しかし、市販教材や塾教材では、比も分数も当たり前のように使われます。同じ問題でも、比を使った解説を書いている場合と、分数を使った解説を書いている場合があると思います。どちらも同じような考え方なので、どちらで説明を受けても理解できるようにしておきたいですね。

例えば、下の図のように三角形ABCの辺BC上に点D、辺AC上に点Eをおき、三角形ABCと三角形EDCの面積比を考えるような問題があったとします。

比で計算するにしても分数で計算するにしても、どちらも最も簡単な整数の比(分数であれば約分した状態)にしてから計算するほうが数値が小さくなるので楽になりますね。分数で計算する場合には、分母を全体(この問題であれば三角形ABC)として計算するようにしましょう。

三角形ABCと三角形EDCの面積の比は21:5となります。これが例えば、四角形ABDEと三角形EDCの面積比を聞かれるのであれば、(21-5):5=16:5となります。

 

まとめ

この記事で紹介している問題は、本当に中学受験の算数では定番の問題です。まずこれが理解できないことには、面積比に関する問題はすべて捨てるしかなくなってしまうでしょう。

また、今回ご紹介した考え方をいくつか組み合わせて使うような問題も多く存在します。応用編では今回の記事をベースにした典型題をいくつかご紹介する予定です。

続いてこちらの記事をどうぞ↓

 

(ライター:桂川)

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