3ステップだからわかりやすい！「消去算」の解き方を問題付きで解説！【練習プリントあり】

この記事では「消去算」の解き方を解説していきます。問題を一緒に考えながら、基本の解き方を学んでいきましょう。

Contents

1 消去算とは
2 消去算の解き方
- 2.1 基本的な問題（問題☆、問題①）
- 2.2 少し変わった問題（問題②）
3 消去算の解き方　まとめ
4 消去算の応用
5 練習用プリント（無料）
6 まとめ
7 おすすめ記事
8 参考

消去算とは

消去算とはいくつかの分からない数を、式を操作することで、その数を求める問題です。

これでは分かりにくいと思うので例題を出してみます。

りんごを3個、みかんを5個買うと490円になります。また、りんごを4個、みかんを3個買うと470円になります。りんごとみかんはそれぞれ何円でしょう。
りんごを6個、みかんを5個買うと720円になりました。りんごはみかんよりも10円高いとすると、りんごとみかんはそれぞれ1個何円でしょう。
りんごを4個、みかんを1個、レモンを2個買うと560円になりました。りんごを1個、みかんを4個、レモンを3個買うと440円になりました。りんご3個とレモン1個を買うと何円になるでしょう。

なんとなくどんな問題かイメージできましたか？これが消去算の基本形です。それではさっそく問題を解いてみましょう。

消去算の解き方

基本的な問題（問題☆、問題①）

先ほど例であげた問題①を解く前に、次の問題を考えてみましょう。

（問題☆）レモンを3個、アボカドを4個買うと640円になります。レモンを3個、アボカドを3個買うと540円になります。レモンとアボカドはそれぞれ何円でしょう。

これを図にまとめると以下のようになります。

上と下を比べることで、アボカド1個の値段は\(640-540＝100\)円だとすぐ分かりますね。

アボカドの値段が分かれば、後はレモンとアボカドの合計金額からアボカドの値段を引いて、レモンの個数で割ればレモンの値段は分かります。（図を見るとわかりやすいです）

これを解くと、レモンは\(（640-100\times4）\div3＝80\)（円）となります。

問題☆がわかった上で、問題①を考えていきましょう。

（問題①）りんごを3個、みかんを5個買うと490円になります。また、りんごを4個、みかんを3個買うと470円になります。りんごとみかんはそれぞれ何円でしょう。

まずは図でまとめてみます。

問題☆はレモンの数が同じだったため、単純に2つの金額の差をとることでアボカドの値段が求められました。

しかし、今回は図の上と下でりんごの数とみかんの数が両方異なるため、問題☆のように単純に差を取って求めることはできません。では、どうすれば求められるでしょうか？

「どちらかの個数が揃っていれば求められる」ということは「どちらかの個数を揃える」ということをすれば、両方個数が異なっていても求められるということです。

実際に問題①を解いて見てみましょう。「どちらかの個数を揃える」ためには、何をすれば良いでしょうか？

正解は、上と下（2つの組み合わせ）をそれぞれ何倍かして、どちらかの個数を合わせる、です。最小公倍数の考え方ですね。

今回はりんごの方が少ないので、りんごの個数を合わせていきます。

りんごは\(3\)個と\(4\)個なので、\(3\)と\(4\)の最小公倍数である\(12\)個にします。\(3\)個の方（上）には\(\times4\)、\(4\)個の方（下）には\(\times3\)します。合計金額も忘れずに変えましょう。

すると、りんごの数は両方とも\(12\)個、みかんの個数は上の方が\(5\times4＝20\)（個）で、下の方が\(3\times3＝9\)（個）になります。

みかんの個数の差は\(11\)個で、金額の差は\(1960-1410＝550\)（円）です。ということは、みかん\(\times11＝550\)（円）なので、みかん1個の値段は\(550\div11＝50\)（円）と求まります。

みかんの値段がわかったら問題文のままの式に当てはめましょう。（かけ算した後の式でももちろん大丈夫ですが、数が大きくなってしまうので前の方がおすすめです）

ここでは、りんご\(\times3+\)みかん\(\times5＝490\)（円）の式に当てはめて、りんご1個の値段は\(（490-50\times5）\div3=80\)（円）だとわかります。

この問題はみかんの個数を合わせることでも解けるので、是非自分でやってみましょう。個数を合わせるときは\(3\)と\(5\)の最小公倍数で合わせます。

少し変わった問題（問題②）

次に、少し変わった消去算の問題を解いてみましょう。

（問題②）りんごを6個、みかんを5個買うと720円になりました。りんごはみかんよりも10円高いとすると、りんごとみかんはそれぞれ1個何円でしょう。

まずは図にまとめてみましょう。

ここまで見てきたように、消去算で大切なことは、2種類のもののうち片方の数を揃えて、もう片方だけにすることです。

先ほどの問題では最小公倍数で揃えましたが、今回の問題ではどうすれば良いでしょうか？

この問題では2つ目の式が特徴的ですね。りんごはみかんで、みかんはりんごで表せるので、置き換えるのが良さそうです。

みかん\(1\)個をりんごに置き換えると、合計金額は\(10\)円増えます（みかん\(＝\)りんご\(-10\)円）。なので、みかんを\(5\)個ともりんごに置き換えると、合計金額は\(720＋10\times5＝770\)（円）になります。

よって、りんご\(\times11＝770\)（円）なので、りんご\(1\)個は\(770\div11＝70\)（円）だと求まります。みかん＝りんご\(-10\)円なので、みかん\(1\)個は\(70-10＝60\)（円）です。

今回はみかんをりんごに置き換えましたが、りんごをみかんに置き換えても解けるので是非やってみましょう。

消去算の解き方　まとめ

ここまで見てきた消去算の解き方をまとめておきます。簡単な問題でも、難しい問題でも、この３ステップが大切です。

図を書いて状況を把握する
→書くときは自分がわかればＯＫ！
2種類のもののうち片方を消去して片方だけにする
→最小公倍数で揃えたり、どちらかで置き換えたりしましたね！
個々の値を計算する
→問題文をもう一度見て、何を問われているのか確認しましょう！

消去算の応用

最後に、応用問題をご紹介します。気になる方はぜひ解いてみてください。

（応用問題）りんごを4個、みかんを1個、レモンを買うと560円になりました。りんごを1個、みかんを4個、レモンを3個買うと440円になりました。りんご3個とレモン1個を買うと何円になるでしょうか。

応用でも解き方はこれまでと同じです。1つずつ確認していきましょう。

①図を書いて状況を把握する

とりあえず図を書いてみましょう。

②2種類のもののうち片方を消去して片方だけにする

今回は3種類ですが、やることは2種類の時と大して変わりません。聞かれているのはりんごとレモンなので、みかんを消去することでりんごとレモンだけにしましょう。

みかんは上が\(1\)個、下が\(4\)個なので、問題①のように最小公倍数で合わせれば良さそうです。上の方を\(4\)倍しましょう。

すると、上の方は「りんご\(16\)個、みかん\(4\)個、レモン\(8\)個」になるので、下との差はりんごが\(15\)個、レモンが\(5\)個だとわかります。

金額の差は\(2240-440＝1800\)（円）なので、りんご\(\times15＋\)レモン\(\times5＝1800\)（円）です。みかんを消すことができましたね。

③個々の値を計算する

この問題では\(1\)つずつの値段ではなく、「りんご\(3\)個とレモン\(1\)個の値段」を求めたいのでした。これは先ほどの「りんご\(\times15＋\)レモン\(\times5＝1800\)（円）」の式の全体を\(5\)で割れば求められます。計算すると、\(1800\div5＝360\)（円）です。

問われているのが1つずつの値段ではないとき、問われている式が出るかもと考えるのも良いかもしれません。（今回の場合は「りんご\(\times3＋\)レモン\(\times1＝\)？」が出るのかな？と考えます）

別解

全体の個数を見た面白い別解もあります。

上下を足すと、りんご、みかん、レモンのすべての個数が\(5\)個になります。つまり、りんご\(5\)個、みかん\(5\)個、レモン\(5\)個の値段が\(560＋440＝1000\)（円）だと求まります。（りんご\(\times5＋\)みかん\(\times5＋\)レモン\(\times5＝1000\)）

これを\(5\)で割ることで（りんご\(1\)個\(＋\)みかん\(1\)個\(＋\)レモン\(1\)個）の値段は\(200\)円だと求まります。

あとは、上の方の式（りんご\(\times4＋\)みかん\(\times1＋\)レモン\(\times2＝560\)）を使って求めます。つまり、（りんご\(1\)個\(＋\)みかん\(1\)個\(＋\)レモン\(1\)個）を引いてあげれば、りんご\(3\)個とレモン\(1\)個の値段がわかるというわけです。これを解くと、\(560-200＝360\)（円）です。