つるかめ算とは
つるかめ算は、2つ以上の異なる種類のものがあり、その総数だけがわかっているときにそれぞれいくつずつあるのかを考えるという問題です。その代表例がつるとかめが合計何匹いるかと足の合計本数がわかっていて、つるとかめはそれぞれ何匹いるかという問題です。それでは、早速問題をみていきましょう。
1⃣ つるとかめが合わせて15匹います。足は全部で48本あります。つるとかめは何匹いるでしょう。
つるかめ算の解き方
つるかめ算を解くときに面積図を使うと習った人もいるかもしれませんが、面積図を使うと本質が見えにくくなってしまうのでここでは、とりあえず面積図を使わずに説明したいと思います。
仮に15匹が全てかめだったと考えましょう。すると足の本数は何本になるでしょうか。4×15＝60本となることがわかると思います。しかし、問題では足は全部で48本となっています。つまり、全部がかめだったと仮定すると12本足が余分になってしまいます。そこで、かめ一匹をつるにおきかえてみましょう。どうなりましたか。足が2本減ることが分かると思います。一匹かめをつるにおきかえるごとに足が2本減っていきます。では、何匹かめをつるにおきかえたら足の本数が12本減るでしょうか。簡単ですね。12÷2＝6匹となることが分かると思います。6匹のかめをつるにおきかえたのでかめは9匹、つるは6羽と求まります。実際に全部の足を数えると4×9＋2×6＝48本となり問題と合っています。
今回は全てがかめだったと仮定しましたが、もちろんすべてがつるだったと考えても解けます。全てがつるなら足は全部で2×15＝30本で、1羽をかめにおきかえると足が2本増える。なので18本足を増やすには、18÷2＝9羽のつるをかめにおきかえればよい。よってかめ9匹、つる6羽ということが分かります。
つるかめ算になれるためにもう一つ問題を解いてみましょう。
2⃣ 50円玉と100円玉が合計18まいあります。その合計金額は1400円です。50円玉と100円玉はそれぞれ何まいあるでしょう。
考え方はさっきと同じです。まず全てが50円玉だったと仮定します。するとその金額は50×18＝900円です。これでは500円足りないですね。50円玉1まいを100円玉におきかえると合計金額は50円増えます。なので500÷50＝10まい100円玉におきかえれば500円増えます。よって50円玉は8まい、100円玉は10まいとなります。余裕がある人は全てを100円玉だったと仮定してもやってみてください。
つるかめ算の解き方のまとめ
- 全てどちらか一方だったと仮定する
- ひとつをおきかえてみて変化を調べる
- 問題に与えられた数に合うまでおきかえる
つるかめ算の応用
今までは、2種類（つるとかめ）しかものが出てきませんでしたが今度は3種類でてくる場合を解いてみましょう。
3⃣ 5キロある道のりを常に分速50メートル、60メートル、75メートルのいずれかの速さで歩いたところ歩き終わるのに82分かかりました。分速50メートル、60メートル、75メートルで歩いた時間はそれぞれ何分でしょう。ただし、分速75メートルで歩いた時間は分速60メートルで歩いた時間より2倍だけ長かったとします。
それでは手順に沿って解いてみましょう。
- 全てどちらか一方だったと仮定する 82分ずっと分速50メートルで歩いたと考えてみましょう。すると歩ける道のりは50×63＝4100メートルとなります。これでは900メートル足りませんね。
- ひとつをおきかえてみて変化を調べる
次に1分だけ分速50メートルで歩く時間を減らして他の速さで歩いてみましょう。このとき、分速75メートルで歩く時間は分速60メートルで歩く時間の2倍であることに注意しましょう。つまり、分速75メートルで歩く時間：分速60メートルで歩く時間＝2：1なので分速75メートルで40秒（2/3分）、分速60メートルで20秒（1/3分）歩くことになります。この1分間で歩く距離は75×2/3＋60×1/3＝70メートル、つまり歩く距離は70-50＝20メートルだけ伸びます。 - 問題に与えられた数に合うまでおきかえる 1分だけ分速50メートルで歩くところを分速60メートルと分速75メートルでおきかえると歩く距離は20メートル伸びたので900メートル伸ばすには900÷20＝45分だけ分速50メートルで歩く時間を減らせばよいですね。よって分速50メートルで歩く時間は82-45＝37分。分速60メートルと分速75メートルで歩く時間の合計が45分なので分速75メートルで歩く時間は45×2/3＝30分、分速60メートルで歩く時間は45×1/3＝15分となる。
他にも色んな問題を解いてつるかめ算に慣れておきましょう。
＜関連記事＞
